Enunciado
Termodinâmica - Çengel - Termodinâmica - Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 37
Um teleférico de esqui tem um comprimento de 1 km e uma diferença de altura vertical de 200 m. O espaço entre as cadeiras é de 20 m, e cada cadeira acomoda três pessoas. O teleférico opera a uma velocidade constante de 10 km/h. Desprezando o atrito e o arrasto aerodinâmico, e supondo que a massa média de cada cadeira carregada seja de 250 kg, determine a potência necessária para operar esse teleférico. Estime também a potência necessária para acelerar esse teleférico até sua velocidade de operação em 5 s (depois de ligado).
Passo 1
Inicialmente, vamos verificar a quantidade de cadeiras no teleférico e, daí, a massa total. Sabemos que o teleférico tem de comprimento, e que o espaço entre cada cadeira é de , assim, se dividirmos o comprimento do teleférico pelo espaço entre cada cadeira, chegaremos ao número de cadeiras total.
Cada cadeira carregada tem 250 kg, daí, a massa total de todas as cadeiras carregadas é de
Passo 2
Agora, vamos calcular o trabalho necessário para manter todas essas cadeiras no ar. O trabalho irá obedecer a energia gravitacional, já que as cadeiras estão a 200 m do chão, assim a expressão para o trabalho é
Passo 3
Temos que a potência será dada por
onde, t é o tempo em que o a cadeira demora pra sair do início do teleférico até o final.
Sabemos que a velocidade do teleférico é de 10 km/h e que velocidade é dada pela seguinte expressão:
Assim, para encontrarmos o tempo que a cadeira demora pra percorrer o teleférico, basta isolarmos o tempo na expressão, desse modo
Passo 4
Daí, conseguimos então descobrir a potência necessária para operar esse teleférico lotado, temos
Passo 5
Para estimarmos a potência necessária para acelerar o teleférico até a sua velocidade de 10 km/h, vamos utilizar a soma das potências do trabalho potencial e do trabalho cinético, assim
Passo 6
Começaremos pela potência do trabalho cinético, para isso, precisamos da aceleração do teleférico quando este está a 10 km/h.
Convertendo km/h para m/s, temos:
Temos que a aceleração até essa velocidade em 5 segundos será dada por
Assim, podemos calcular a potência vinda do trabalho cinético que é dada por:
Passo 7
Agora, para calcular a potência vinda do trabalho potencial, temos primeiro que encontrar a que altura a cadeira estará em 5 s. Daí, vamos utilizar o esquema abaixo para guiar nosso raciocínio:
Vamos utilizar semelhança de triângulos para obter a altura que a cadeira está em 5 s. Inicialmente, vamos achar a distância x que ele está da origem. Assim,
Como a posição inicial é 0 e a velocidade inicial também é 0, teremos:
Aplicando a semelhança de triângulo, teremos:
Assim, a potência da energia gravitacional é dada por
Passo 8
Somando as potências pela expressão dada no Passo 5, teremos:
Resposta
A potência necessária para operar esse teleférico com carga total é de 68,125 kW.
A potência estimada para acelerar esse teleférico até sua velocidade de operação em 5 s é de 43,646 kW.