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Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas – Completando Quadrados

Ver Teoria
Exercício 31245

Enunciado

Calcule:

L - 1 5 s s - 2 3

Passo 1

Frações parciais? Não precisa. É só usar um algebrismo malandro. Repare que:

5 s s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 + 2 s - 2 3 = 5 ⋅ s - 2 s - 2 3 + 5 ⋅ 2 s - 2 3

Passo 2

Para o primeiro termo, podemos simplificar:

5 ⋅ s - 2 s - 2 3 = 5 ⋅ 1 s - 2 2

Então vai ficar:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 L - 1 1 s - 2 2 + 5 L - 1 2 s - 2 3

Passo 3

Lembramos agora que:

L t = 1 s 2

Tá, mas e aí? Não tá igual. Sim, mas estamos perto. A inversa que temos é a inversa acima deslocada. E o que desloca a transformada? A exponencial!

L e a t f t = L { f ( t ) } ( s - a )

Então:

L e 2 t t = 1 ( s - 2 ) 2 ⟹ L - 1 1 s - 2 2 = t e 2 t

Passo 4

Para a outra, temos a mesma coisa, mas para n = 2 :

L t 2 = 2 s 3 ⟹ L e 2 t t 2 = 2 s - 2 3 ⟹ L - 1 2 s - 2 3 = t 2 e 2 t

Juntando tudo:

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t

Resposta

L - 1 5 s s - 2 3 = 5 t e 2 t + 5 t 2 e 2 t