Transformada de Laplace
Calcule a inversa da Laplace de:
Passo 1
Antes de fazer qualquer coisa vamos chamar de a função que queremos, então
Aqui temos uma fração com polinômio no numerador e no denominador. Vamos usar Frações Parciais para separa isso em somas menores que serão mais fáceis de fazer a inversa da Transformada de Laplace.
Vamos ver primeiro se conseguimos fatorar aquele polinômio de grau.
Nesse caso vamos ver as raízes de
Então as raízes são complexas, isso quer dizer que esse polinômio de grau é irredutível.
Aplicando as frações parciais vamos ter
Onde , , e são números que precisamos achar
Igualando os denominadores vamos ter
Agora temos que igualar os coeficientes:
Agora que temos o vamos achar o pela terceira equação
Agora que temos e vamos achar pela segunda equação e pela primeira
A nossa fração vai ficar
E vamos ter
Passo 2
Agora vamos continuar a caçada. Para as duas primeiras parcelas basta lembrar que
Na primeira parcela temos
Isso porque queremos igualar os expoentes de , então
Na segunda parcela temos
Então
Passo 3
Para a última parcela vamos fazer em um passo separado porque é um pouco mais complicado. Queremos a inversa da Transformada de
Vamos fazer
Normalmente quando temos um polinômio de grau no denominador vamos olha a transformada de ou . Isso porque
E
Mas a nossa função tem um junto com o , então vamos combinar essas transformadas com a transformada
Então na verdade queremos comparar com
E
A primeira coisa que temos que fazer é tentar escrever o denominador como
Abrindo isso temos
E temos
Comparando vamso ter
Assim
Consideramos sempre .
Beleza, então temos
Comparando com as transformadas ali em cima de e , nenhuma delas se parece com isso que achamos, isso porque o numerador é diferente.
Como temos no numerador vamos escrever o numerador como , que assim conseguimos comparar com a transformada de .
Para isso vamos fazer
Somamos e subtraímos o , assim não mudamos a nossa conta e temos, em parte, algo que conseguimos fazer a transformada inversa.
Aquela segunda parcela é parecida com a transformada do , falta só p no numerador, podemos fazer
Voltando par a
Então
Assim a nossa função vai ficar