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Exercícios Resolvidos de Transformadas Inversas – Completando Quadrados

Ver Teoria
Exercício 21345

Enunciado

Calcule a transformada inversa de Laplace da função:

F ( s ) = 1 s - 3 { s - 3 2 + 1 }

Dica: 1 s ( s 2 + 1 ) = 1 s - s s 2 + 1

Passo 1

Bem, essa dica aí é de grande valia. Não vamos ter que calcular as frações parciais. Se considerarmos u = s - 3 , só para facilitar a visualização, então:

1 s - 3 { s - 3 2 + 1 } = 1 u ( u 2 + 1 ) = 1 u - u u 2 + 1 = 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 2

Vamos ter agora:

F ( s ) = 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Aplicando a inversa dessa belezinha:

L - 1 F s = L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1

Como a transformada é linear:

L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1 = L - 1 1 s - 3 - L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1

Passo 3

Lembre-se que:

L 1 = 1 s ;   L cos ⁡ a t = s s 2 + a 2

Repare e veja que essas transformadas acima são aquelas que queremos calcular só que deslocadas. O que desloca a transformada, Ahn? Ahn? Ahn? A exponencial! E da seguinte forma:

L e a t f t = L f t t - a

É sím, rapaz, acredite! Comprando as duas expressões, vemos que a = 3 então:

L - 1 1 s - 3 = 1 ⋅ e 3 t

E:

L - 1 s - 3 s - 3 2 + 1 = cos ⁡ t e 3 t

Juntando tudo:

L - 1 1 s - 3 - s - 3 s - 3 2 + 1 = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]

Resposta

L - 1 F s = e 3 t [ 1 - cos ⁡ t ]