Exercícios de Elevando Matrizes a Expoentes Reais - Lista de Exercícios Resolvida

Calcule:

para

para

Sejam , e . Calcule

Calcule

Seja , onde e , de forma que . Calcule .

Se (1,1) e (2,1) são autovetores de A associados aos autovalores 2 e -1, respectivamente, calcule .

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere a matriz e o vetor . Qual é a direção aproximada do vetor ?

A direção do vetor

A direção do vetor

A direção do vetor

A direção do vetor

Se , e são os autovalores de uma matriz , então os autovalores de são:

Considere o plano em que passa pela origem de equação cartesiana

e a transformação linear espelhamento (ou reflexão) em relação ao plano Denote por a matriz de E na base canônica.

(a) Considere a base ortonormal de

e o vetor (escrito na base canônica). Determine a segunda coordenada de v na base

(b) Escreva na forma , onde Q é uma matriz ortogonal e D é diagonal.

(c) Determine explicitamente a matriz

O conjunto dos cidadãos de um certo país está dividido entre os que reside no país e os que vivem no exterior. Todo ano, 10% da população interna vai morar no estrangeira, e 30% que moram fora migram de volta. A continuar esse fluxo migratório, qual a porcentagem aproximada da população total que estará morando no exterior dentro de 10 anos?

(a) 15%

(b) 10%

(c)

(d)

Considere as afirmativas abaixo:

Se é autovalor de então é autovalor de

Se é autovetor de , então é autovetor de

(a) Ambas são falsas

(b) é verdadeira e é falsa

(c)

(d)Ambas são verdadeiras

Sejam e

(a)

(b)

(c)

(d)

Considere o vetor e a matriz . Calcule

(Dica: não é necessário encontrar o polinômio característico de para calcular os autovalores de )

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja a transformação linear cuja matriz com respeito à base canônica é dada por .

a) Determine os autovalores de .

b) Determine uma base para cada autoespaço de .

c) Exiba uma base tal que seja diagonal (e exiba essa matriz).

d) Seja , . Determine .

Considere a matriz e a base canônica do

1. Determine uma base do tal que é diagonal.
2. Determine D.
3. Escreva a relação entre as matrizes A e D usando matrizes de mudança de base.
4. Associe a relação obtida no item (b) com a expressão e mostre que
5. Calcule .

Se , qual dentre as matrizes abaixo é igual a .

Seja uma matriz , cujos autovetores estão nos eixos coordenados. Sabe-se que os autovalores associados e podem ser , ou . Indicar quantas matrizes diferentes podemos obter.

Dado que e , calcule .

(a)

(b)

(c)

(d)

Seja o operador linear .

Calcule os autovalores de .

Para cada autovalor encontrado em , encontre uma base para o autoespaço correspondente.

é diagonalizável? Se sim, exiba uma base de tal que a matriz seja diagonal e exiba essa matriz.

Sendo a base canônica de , calcule a potência .

Seja uma matriz . Assinale a alternativa FALSA:

Se então os autovalores de só podem ser ou

Se as colunas de são linearmente independentes então zero não é um autovalor de

Se então zero é autovalor de

Se então o único autovalor de é

Seja a reflexão ortogonal pelo plano . Os autovalores de são:

, e

, e

, e

, e

Sejam e duas matrizes satisfazendo , onde e . Quando vale ?

Seja uma matriz . Sabendo que então os únicos autovalores possíveis de são:

Seja Q uma matriz ortogonal

(a) Considere a matriz onde

Determine explicitamente

(b) Determine os autovalores da matriz onde

Considere a reta definida por

Seja a tranformação linear que é a reflexão com relação a reta

1. Determine
2. Seja onde é o plano que contém e é ortogonal à reta Determine
3. Determine os autovalores de e os autoespaços associados de cada autovalor.
4. Determine uma base de tal que seja diagonal.
5. é ortogonalmente diagonalizável? Se sua resposta foi afirmativa, diagonalize ortogonalmente. Se sua resposta foi negativa, justifique.
6. Determine
7. Determine uma base de
8. Determine explicitamente as matrizes e onde é a matriz de na base canônica.

Seja Calcule

(a)

(b)

(c)

(d)

A matriz tem autovalores e . Então é igual a: