Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Teoria

Introdução

Beleza, vimos como definir parábolas, elipses e hipérboles no plano com elas estando no eixo x ou no eixo y .

Mass, e se ela não estiver ao longo de nenhum dos dois eixos? Tipo assim:

Nessa imagem a gente tem uma parábola meio tortinha não é? Ela está rotacionada.

Agora vem a pergunta: como analisamos cônicas rotacionadas? Quais as suas equações?

Não se assusta não, vamo lá entender isso direitinho :D

Equação Geral das Cônicas

Qualquer cônica, estando ela de qualquer maneira, pode ser escrita pela equação geral:

Ou seja, se tivermos a equação da elipse: x 2 25 + y 2 16 = 1 , podemos escrever ela na forma geral assim:

x 2 25 + y 2 16 - 1 = 0

Nesse caso, A = 1 25 , C = 1 16 , F = - 1 e o restante dos coeficientes é 0 .

O nosso conflito na rotação de cônicas vai ser esse tal desse termo x y . Sempre que ele aparecer na nossa equação, a cônica vai estar rotacionada :O Ou seja:

  • Se B = 0 , a cônica não vai estar rotacionada, talvez no máximo transladada
  • Se B ≠ 0 , o termo x y vai existir ali e portanto a cônica vai estar rotacionada

Opa, mas e aí, como fazemos se o B for diferente de 0??? É exatamente o que vamos ver agora ;D

Ah, um lembrete: sempre que D e/ou E for diferente de 0 , a cônica vai estar transladada beleza?

Rotacionando os eixos

Já vimos que quando temos aquele termo x y na nossa equação, a cônica estará rotacionada certo?

Vamos supor o seguinte, aqui temos uma hipérbole no nosso sistema x O y , o famoso já conhecido:

Mas se rotacionarmos essa hipérbole em um ângulo θ , ela sai desse sistema x O y e passa a estar ao longo do sistema x ' O y ' (alguns livros usam u O v , mas no final dá na mesma viu?)

Normalmente, o problema vai dar a equação da cônica rotacionada no sistema x O y e aí pra descobrirmos qual cônica é aquela, transformamos ela no sistema x ' O y ' (ou u O v ).

Vamos usar como exemplo a equação geral x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y = 1 , que também pode ser escrita assim:

x 2 + 3 x y + y 2 - 2 x - 2 y - 1 = 0

Os coeficientes dessa equação, comparando com a equação geral que demos lá em cima, são:

A = 1       B = 3       C = 1       D = - 2       E = - 2       F = - 1

Nessa equação temos o termo x y né? Então ela ta rotacionada e precisamos achar sua equação no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Deixa eu te mostrar um passo a passo de como fazer isso:

Passo 1 – Encontrar o ângulo de rotação

Antes de qualquer coisa, precisamos entender: a que ângulo θ a cônica “original” foi rotacionada? Será que foi 30 ° ? Ou 60 ° ? Hehe pode ter sido qualquer ângulo, e pra descobrir vamos usar a relação:

t g 2 θ = B A - C

Então, no nosso exemplo:

t g 2 θ = 3 1 - 1 = 3 0

Epa!! Como assim uma divisão por 0???

Calma, isso só quer dizer que a tangente do ângulo 2 θ não existe. Agora vamos pensar, qual é o ângulo que a tangente não existe?? 90 ° certo? Então:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

Então, pra facilitar sua vida: sempre que A = C , o ângulo de rotação vai ser 45 ° , caso contrário vamos ter que usar a relação mesmo pra resolver :P

Passo 2 – Mudando os eixos

Agora vamos usar uma relação entre o sistema x O y e o x ' O y ' , guarda bem isso aqui hein:

Essa relação vem de que

x y = cos ⁡ θ - s e n θ s e n θ c o s θ x ' y '

Por isso chamamos de forma matricial :)

(se seu livro estiver utilizando a notação u O v , é só trocar x ' por u e y ' por v )

No nosso exemplo, cos ⁡ 45 ° = s e n 45 ° = 2 2 , então:

x = x ' . 2 2 - y ' . 2 2 → x = 2 2 x ' - y ' ( I )

y = x ' 2 2 + y ' 2 2 → y = 2 2 x ' + y ' ( I I )

Passo 3 – Encontrando os novos coeficientes A ' e C '

Na nossa equação no sistema x O y temos nossos coeficientes A e C , que no nosso exemplo são 1 e 1 .

Para nossa equação no sistema x ' O y ' , vamos encontrar os coeficientes A ' e C ' pelo sistema:

Então, no nosso exemplo:

A ' + C ' = 1 + 1 A ' - C ' = 3 s e n 90 °

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 3

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 5 2 e C ' = - 1 2

Vamos guardar esses valores e ir pro próximo passo.

Passo 4 – Encontrando a parte linear da equação

Essa parte a gente só vai fazer se a cônica estiver transladada, ou seja, se D e/ou E for diferente de 0.

Vamos substituir as equações ( I ) e ( I I ) (aquelas do passo 2) na parte linear da equação original, ou seja, nas partes que multiplicam x e y :

- 2 x - 2 y

- 2 2 2 x ' - y ' - 2 2 2 x ' + y '

- 2 x ' + 2 y ' - 2 x ' - 2 y '

- 2 2 x '

Então, no lugar de - 2 x - 2 y da nossa equação, vamos escrever - 2 2 x ' fechou?

Passo 5 – Escrevendo nossa equação no sistema x ' O y '

Agora sim, finalmente vamos escrever nossa equação no novo sistema de coordenadas, ela vai ficar assim:

A ' x ' 2 + C ' y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

5 2 x ' 2 - 1 2 y ' 2 - 2 2 x ' - 1 = 0

Repara que agora nosso termo x y sumiu, porque no novo sistema de coordenadas, essa cônica não ta rotacionada :D

Pra identificar qual é a cônica, é só completar quadrados em x (pois está transladada) e fazer os ajustes necessários. Por fim, vamos descobrir que é uma hipérbole, abaixo temos o esboço dela rotacionada (verde) e depois de fazermos todos esses passos (vermelha)

Pra qualquer outra cônica rotacionada, os passos vão ser os mesmos viu?

Agora bora lá fazer exercício pra treinar essa receita de bolo :D

Rotacionando os eixos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Dadas as equações de cônicas abaixo, determine seus coeficientes na equação geral.

a) x 2 - 4 x y + 2 y 2 = 0

b) x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - y 2 + 4 = 0

d) x 2 36 + y 2 4 = 7

e) x y + y 2 = - x 2 + 4 x

Passo 1

Vimos que a equação geral de uma cônica é dada no formato:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

O que precisamos fazer nesse exercício é dar os coeficientes A , B , C ... De acordo com as equações dadas. Vamo lá!!

Passo 2

a) Nossa equação já está na forma geral, agora é só acharmos os coeficientes.

O A vai ser o coeficiente que multiplica x ² , logo, A = 1

B multiplica x y : B = - 4

C multiplica y ² : C = 2

Opa, esses são os únicos coeficientes dessa equação, então podemos dizer que D = E = F = 0 fechou?

Passo 3

b) Agora temos que:

A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

Passo 4

c) Dessa vez:

A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

Passo 5

d) Vamos transformar x 2 36 + y 2 4 = 7 na equação geral de uma cônica passando o 7 pro outro lado:

x 2 36 + y 2 4 - 7 = 0

Fechou, agora sim podemos falar que:

A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

Passo 6

e) Vamos transformar x y + y 2 = - x 2 + 4 x na equação geral:

x y + y 2 + x 2 - 4 x = 0

Organizando os termos pra facilitar nossa vida:

x 2 + x y + y 2 - 4 x = 0

Daí temos que:

A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Resposta

a) A = 1 B = - 4 C = 2 D = 0 E = 0 F = 0

b) A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

c) A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

d) A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

e) A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Exercício Resolvido #2

Considere as afirmativas a seguir:

I – A cônica - 4 x 2 - 5 x y - y 2 + 4 = 0 não está transladada, mas está rotacionada.

II – O ângulo de rotação da cônica x 2 + x y + 2 y 2 + x + 3 y = 0 é π 8 .

III – A cônica x + 2 2 + x y = 0 está rotacionada, mas não está transladada.

Estão corretas apenas as afirmativas:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

f) II e III

g) I, II e III

Passo 1

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

I – Vimos que para uma cônica estar rotacionada, devemos ter o termo x y , enquanto para estar transladada devemos ter o termo x e/ou o termo y .

Nesse caso, temos x y , logo, ela está rotacionada. Mas não temos nem x nem y , portanto, ela não está transladada. Então a afirmativa é verdadeiraaa :D

II – Bora calcular o ângulo de rotação pela formulazinha que vimos:

t g 2 θ = B C - A

t g 2 θ = 1 2 - 1 = 1

2 θ = a r c t g   1

2 θ = π 4

θ = π 8

Obaaa! Então a afirmativa ta correta!!

III – Abrindo o quadrado de x + 2 2 + x y = 0 :

x 2 + 4 x + 4 + x y = 0

Temos o termo x y e temos o termo x , então a cônica está tanto rotacionada quanto transladada. Logo, a afirmativa é falsa :/

Então, a alternativa correta é a letra D! :)

Resposta

d) I e II

Exercício Resolvido #3

Considere o plano com o sistema cartesiano canônico x y e faça uma rotação de um ângulo θ = π 3 obtendo um novo sistema x ' y ' . Seja P um ponto do plano.

a) Se P = ( 2 ,   2 ) no sistema x y , encontre as coordenadas de P no sistema x ' y ' .

b) Transforme a equação x 2 + y 2 = 4 para o sistema x ' y ' .

Passo 1

Vimos que a relação entre o sistema x O y e o sistema x ' O y ' pode ser dada por

Então, sabendo θ , vamos utilizer essa relação para resolver os dois itens.

Passo 2

a) Substituindo o ponto P , s e n θ e cos ⁡ θ na relação do passo 1, temos:

2 = x ' 2 - 3 y ' 2 2 = 3 x ' 2 + y ' 2  

Resolvendo esse sistema, encontramos que x ' = 3 + 1 e y ' = - 3 + 1 .

Então o ponto P ' (ponto P no sistema x ' O y ' ) é P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 ) .

Passo 3

b) Temos que

x = x ' 2 - 3 y ' 2 y = 3 x ' 2 + y ' 2  

Basta substituirmos essa relações de x e y em x 2 + y 2 = 4 para obtermos essa equação no sistema x ' O y ' . Assim:

x 2 + y 2 = 4

x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

Resposta

a) P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 )

b) x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

Exercício Resolvido #4

Identifique e esboce a cônica dada pela equação

x y - 4 = 0

Passo 1

Temos um x y na nossa equação, então, a cônica está rotacionada certo?

Pra eliminar o termo misto, vamos fazer uma rotação, mas antes vamos encontrar o ângulo θ :

t g 2 θ = B C - A

Como C = A = 0 , o nosso θ vale 45 ° = π 4   r a d .

Pelas relações de mudança de coordenada de x O y para u O v , vamos ter o sistema

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )

Passo 2

Tendo x e y em função de u e v , agora a gente vai substituir isso lá na equação do enunciado demorou? (lembrando que como não temos x ² e nem y ² , não precisamos encontrar os coeficientes A ' e C ' )

x y - 4 = 0

1 2 u - v 1 2 u + v - 4 = 0

1 2 u 2 - v 2 - 4 = 0

u 2 2 - v 2 2 = 4

Agora vamos dividir tudo por 4:

u 2 8 - v 2 8 = 1

Boa, isso nos dá uma hipérbole com centro C = ( 0 ,   0 ) . Abaixo temos essa hipérbole esboçada no sistema u O v (verde) e no sistema x O y (azul)

Resposta

Hipérbole.

Exercício Resolvido #5

Determine a equação reduzida e identifique a cônica dada pela equação abaixo. Esboce e indique apenas os parâmetros geométricos.

3 x 2 + 10 x y + 3 y 2 - 16 x - 16 y + 8 = 0

Passo 1

A equação da cônica tem um termo x y , ou seja, ela está rotacionada fechou? Vamos utilizar o método matricial pra conseguirmos a equação dela no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Como nos coeficientes da equação da cônica temos que A = C , o nosso ângulo de rotação vai ser θ = 45 ° certo?

Substituindo naquelas relações da mudança de eixos que vimos, vamos ter:

x = 2 2 ( x ' - y ' )

y = 2 2 ( x ' + y ' )

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes A ' e C ' , lembrando que eles vão ser dados pelo sistema

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ

A ' + C ' = 6 A ' - C ' = 10

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 8 e C ' = - 2 .

Passo 3

O próximo passo é substituir as relações que encontramos pra x e y na parte linear da equação original:

- 16 x - 16 y

- 16 2 2 x ' - y ' - 16 2 2 x ' + y '

- 8 2 x ' + 8 2 y ' - 8 2 x ' - 8 2 y '

Então a parte linear da nossa equação no sistema x ' O y ' vai ser

- 16 2 x '

Passo 4

A equação da cônica no sistema x ' O y ' , então, vai ser dada por

8 x ' 2 - 2 y ' 2 - 16 2 x ' + 8 = 0

Dividindo tudo por 2:

4 x ' 2 - y ' 2 - 8 2 x ' + 4 = 0

Agora vamos ajustar essa equação pra descobrirmos que cônica é essa beleza?

Completando quadrados em x :

4 x ' 2 - 8 2 x ' + 8 - y ' 2 + 4 - 8 = 0

4 ( x ' 2 - 2 2 x ' + 2 ) - y ' 2 = 4

4 ( x ' - 2 ) ² - y ' 2 = 4

Passo 5

Fazendo a translação com X = x ' - 2 e Y = y ' , nossa equação fica assim

4 X 2 - Y 2 = 4

Dividindo tudo por 4:

X 2 - Y 2 4 = 1

Isso nos dá a equação de uma hipérbole certo? :)

Os parâmetros geométricos dela são

a = 1

b = 2

c = a 2 + b ² = 5

O esboço dela é mostrado abaixo

Resposta

Hipérbole.

X 2 - Y 2 4 = 1

a = 1

b = 2

c = 5

Exercício Resolvido #6

Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação

x 2 + 2 x y + y 2 - x + y + 1 = 0

Determine o foco, o vértice e a diretriz da cônica nas coordenadas x , y .

Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Como temos um termo misto + 2 x y , vamos ter que fazer uma rotação certo?

Vamos usar a relação pra descobrir o ângulo:

t g 2 θ = B C - A

No nosso caso, B = 2 , C = 1 e A = 1

Opa, mas como A = C , o nosso ângulo vai ser 45 ° , lembra??

Boaa, primeiro passo realizado!!

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Vamos converter o sistema x O y (equação do enunciado) no sistema u O v (cônica rotacionada) usando a relação:

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = c o s θ = 2 2 = 1 2 :

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )   ( I )

Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados pelo sistema:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

Na nossa equação original, A = C = 1 , então A + C = 2 .

Além disso, B s e n ( 2 θ ) = 2 s e n 90 ° = 2 1 = 2

Então:

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 2

Somando as duas equações, temos

2 A ' = 4

A ' = 2

Substituindo na primeira linha:

C ' = 0

Ou seja, não teremos o termo v ² na nossa nova equação (pois C ' = 0 ), enquanto o termo u ² será multiplicado por A ' = 2 .

Passo 4

Encontrando os termos lineares

Agora, vamos substituir as relações do sistema ( I ) na parte linear da equação do enunciado.

- x + y = - 1 2 u - v + 1 2 ( u + v )

- u 2 + v 2 + u 2 + v 2

2 v 2

2 v

Ou seeeja, vamos substituir 2 v no lugar dos termos - x + y da equação original :D

Passo 5

Escrevendo a nova equação

Com os coeficientes A ' , C ' e o termo linear, vamos substituir na equação (lembrando que mantemos o termo independente 1 ):

A ' . u 2 + C ' . v 2 + 2 v + 1 = 0

2 u 2 + 2 v + 1 = 0

Ajustando a equação:

2 u 2 = - 2 v - 1

u 2 = - 2 v - 1 2

u 2 = - 2 2 v + 2 2

Ou seja, temos uma parábola :)

Seu vértice no sistema u O v é V = 0 ,   - 2 2 , seu parâmetro é 2 p = 2 4 → p = 2 8 , e logo, seu foco é F = 0 ,   - 5 2 8 .

Passo 6

Usando as equações do sistema ( I ) pra transformar o foco e vértice pro sistema x O y :

F ' :   x = 1 2 0 - - 5 2 8 = 5 8 y = 1 2 0 - 5 2 8 = - 5 8

V ' :   x = 1 2 0 - - 2 2 = 1 2 y = 1 2 0 - 2 2 = - 1 2

Então F ' = 5 8 ,   - 5 8 no sistema x O y e V ' = 1 2 , - 1 2 .

Resposta

u 2 = - 2 2 v + 2 2

F ' = 5 8 ,   - 5 8 e V ' = 1 2 , - 1 2

Exercício Resolvido #7

Coloque a equação dada abaixo na forma padrão de uma equação de cônica. Para isto realize uma rotação e/ou uma translação de eixos.

x 2 + 3 x y + 2 y 2 + x = 0

Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Como temos um termo misto - 10 x y , vamos ter que fazer uma rotação beleza?

Descobrindo o ângulo:

t g 2 θ = 3 2 - 1

t g 2 θ = 3

2 θ = a r c t g 3

2 θ = 60 °

θ = 30 °

Boa, então vamos rotacionar nossa cônica em 30 ° :)

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Pela relação de transformação de x O y para u O v :

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = 1 2 e c o s θ = 3 2 :

x = u . 3 2 - v 2 y = u 2 + v . 3 2   ( I )

Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados por:

A ' + C ' = 1 + 2 A ' - C ' = 3 s e n ( 60 ° )

A ' + C ' = 3 A ' - C ' = 3 3 2

A ' + C ' = 3 A ' - C ' = 2

Somando as duas equações:

2 A ' = 5

A ' = 5 2

Substituindo na primeira linha:

C ' = 1 2

Passo 4

Encontrando os termos lineares

Agora, vamos substituir as relações do sistema ( I ) na parte linear da equação do enunciado, que no caso é só x hehe

x = u . 3 2 - v 2

x = 3 u - v 2

Então vamos substituir 3 u - v 2 no lugar de x na equação original ok?

Passo 5

Escrevendo a nova equação

Vamos escrever nossa nova equação da seguinte maneira:

A ' . u 2 + C ' . v 2 + 3 u - v 2 = 0

5 2 u 2 + 1 2 v 2 + 3 u - v 2 = 0

Como tudo está dividido por 2, podemos apenas escrever:

5 u 2 + v 2 + 3 u - v = 0

Passo 6

Descobrindo a cônica

5 u 2 + 3 u 5 + ( v 2 - v ) = 0

Completando quadrados:

5 u 2 + 3 u 5 + 3 100 + v 2 - v + 1 4 = 15 100 + 1 4

5 u + 3 10 2 + v - 1 2 2 = 2 5

Dividindo tudo por 2 5 :

u + 3 10 2 2 25 + v - 1 2 2 2 5 = 1

Passo 7

Agora vamos realizar uma translação assim:

U = u + 3 10 V = v - 1 2

Substituindo na nossa equação:

U 2 2 25 + V 2 2 5 = 1

Agora sim, temos nossa equação devidamente rotacionada e transladada :)

Resposta

U 2 2 25 + V 2 2 5 = 1

U = u + 3 10 V = v - 1 2

Exercício Resolvido #8

Determine a equação reduzida e identifique a cônica dada pela equação abaixo. Esboce e indique as coordenadas dos focos no sistema de coordenadas x O y .

7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 - 16 = 0

Passo 1

Bom, vamo lá, a gente tem uma equação geral de uma cônica. Os coeficientes dela são

A = 7

B = - 6 3

C = 13

F = - 16

Como B ≠ 0 , essa cônica está rotacionada.

Além disso, como D = E = 0 , ela não está transladada, ufaa!

Nesse caso, A ≠ C , então o ângulo não é 45 ° e podemos demorar um pouco mais pra acharmos a equação reduzida, mas nada impossível viu?

Então bora lá ajustar essa belezinha pro sistema de coordenadas x ' O y ' .

Passo 2

Precisamos descobrir pelo menos s e n ( 2 θ ) para descobrirmos os coeficientes A ' e C ' . Sabemos que

t g 2 θ = - 6 3 13 - 7

t g 2 θ = - 6 3 6

t g 2 θ = - 3

Passo 3

Achando a c o t g (é só inverter hehe)

c o t g 2 θ = - 1 3 = - 3 3

Beleza, mas o que queremos é s e n ( 2 θ ) , temos por relação trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 1 + c o t g 2 2 θ

s e n 2 θ = 1 1 + - 3 3 2

s e n 2 θ = 1 1 + 3 9

s e n 2 θ = 1 12 9

s e n 2 θ = 3 12 = 3 2 3 = 3 2

Agora que temos o s e n 2 θ podemos seguir em frente :D

Passo 4

ENCONTRANDO OS COEFICIENTES A’ E C’

Vamos descobrir os coeficientes A ' e C ' :

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 6 3 3 2

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 12 3 3 = - 12

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 12

Somando as duas equações:

2 A ' = 20 - 12

A ' = 4

Substituindo na segunda equação:

4 - C ' = - 12

C ' = 16

Boaa, achamos os coeficientes A ' e C ' :)

Passo 5

ESCREVENDO A EQUAÇÃO REDUZIDA EM X’OY’

Como a equação não tem parte linear, agora vamos só reescrever a equação no sistema x ' O y ' :

4 x ' 2 + 16 y ' 2 - 16 = 0

4 x ' 2 + 16 y ' 2 = 16

Dividindo tudo por 16 :

4 x ' 2 16 + 16 y ' 2 16 = 1

x ' 2 4 + y ' 2 1 = 1

Isso é a equação de uma elipse ao longo do eixo x ' , onde a = 2 , b = 1 e c 2 = a 2 - b 2 → c = 3 .

Então os focos dessa elipse, no sistema x ' O y ' são F 1 ' = ( 3 ,   0 ) e F 2 ' = ( - 3 ,   0 ) .

ENCONTRANDO OS FOCOS NO SISTEMA XOY

Opa, mas queremos os focos no sistema x O y !! E agora??

Para transformar as coordenadas do sistema x ' O y ' em x O y , temos a relação

x = x ' c o s θ - y ' s e n θ y = x ' s e n θ + y ' c o s θ

Mas pra acharmos as coordenadas de F 1 e F 2 no sistema x O y , precisamos de s e n θ e cos ⁡ θ !!

Passo 6

- Encontrar c o s θ e s e n θ

Tendo o sistema:

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 c o s 2 θ - s e n 2 θ = c o s ⁡ ( 2 θ )

Podemos desenvolver a segunda equação assim:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ = cotg ⁡ 2 θ . s e n ( 2 θ )

Substituindo os valores que temos:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = - 3 3 . 3 2 = - 1 2

Então, nosso sistema fica assim

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 c o s 2 θ - s e n 2 θ = - 1 2

Passo 7

Somando as duas equações do sistema:

2 c o s 2 θ = 1 - 1 2

2 c o s 2 θ = 1 2

c o s 2 θ = 1 4

c o s θ = 1 2

Substituindo isso na primeira equação:

1 4 + s e n 2 θ = 1

s e n 2 θ = 3 4

s e n θ = 3 2

Boaaa, agora podemos substituir naquela relação pra acharmos as coordenadas dos focos no sistema x O y !!

Passo 8

- Substituindo na relação

Voltando à relação:

x = x ' c o s θ - y ' s e n θ y = x ' s e n θ + y ' c o s θ

x = x ' 1 2 - y ' 3 2 y = x ' 3 2 + y ' 1 2

Vamos substituir as coordenadas dos focos F 1 e F 2 :

F 1 :   x = 3 1 2 - 0 3 2 y = 3 3 2 + 0 1 2 → x = 3 2       y = 3 2

F 2 :   x = - 3 1 2 - 0 3 2 y = - 3 3 2 + 0 1 2 → x = - 3 2       y = - 3 2

Então, as coordenadas dos focos no sistema x O y são F 1 = 3 2 , 3 2 e F 2 = - 3 2 ,   - 3 2 .

Abaixo temos essa elipse nos dois sistemas de coordenadas

Resposta

x ' 2 4 + y ' 2 1 = 1

F 1 = 3 2 , 3 2 e F 2 = - 3 2 ,   - 3 2

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No exercício 4, use as Fórmulas (11) e (12) para calcular o vetor de estado x 4 de duas maneiras diferentes. P = 0 , 8 0 , 5 0 , 2 0 , 5 ;x 0 = 1 0
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