No exercício 7, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada.

P = 1 / 4 2 / 3 3 / 4 1 / 3

Passo 1

Primeiramente, devemos verificar se a matriz é estocástica, e podemos utilizar a mesma abordagem que aprendemos no exercício anterior,

Como todas as entradas são positivas e as somas dos elementos dos vetores coluna da matriz é igual a 1, a matriz P é uma matriz estocástica.

Passo 2

Agora, para sabermos se ela será regular, se P ou alguma potência positiva de P tiver todas as entradas positivas e não nulas, nesse caso,

P = 1 / 4 2 / 3 3 / 4 1 / 3

Não é necessário fazer a potência de P, pois ela já possui todas as entradas positivas. Com isso, P é uma matriz estocástica regular.

Passo 3

Para encontramos o vetor de estado estacionário de uma matriz P qualquer, precisamos encontrar um vetor q eu respeite a seguinte equação,

I - P q = 0

Sendo assim, substituindo os valores temos,

      3 / 4 - 2 / 3 - 3 / 4       2 / 3 q 1 q 2 = 0 0

Escrevendo a matriz na forma de sistemas de equações,

3 4 q 1 - 2 3 q 2 = 0 - 3 4 q 1 + 2 3 q 2 = 0

Resolvendo o sistema, encontramos que

q 2 = s ;         q 1 = 8 9 s

Passo 4

Para q ser um vetor probabilidade, precisamos ter

1 = q 1 + q 2 = 8 9 s + s =   17 9 s

∴         s =   9 17

Resposta

Com isso, encontramos o vetor de estado estacionário,

q = q 1 q 2 = 8 / 17 9 / 17

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