Teoria

Só falta essa!! Vamos lá, galera!

Hipérbole

A hipérbole parece duas parábolas simétricas, como mostra a figura a seguir:

A definição da hipérbole talvez seja a mais cheia de “mimimi”!! Mas, vamos te explicar direitinho!!

Se considerarmos no plano dois pontos distintos F 1 e F 2 tal que a distância d ( F 1 , F 2 ) = 2 c . Seja um número real a tal que 2 a < 2 c .

Então, hipérbole é o nome do conjunto de pontos P do plano tal que:

  | d ( P , F 1 ) - d ( P ,   F 2 ) | = 2 a

Agora que conhecemos a definição, vamos ver os principais elementos da hipérbole!!

  • Focos: pontos F 1 e F 2
  • Distância Focal: é a distância 2 c entre os focos
  • Centro: Ponto C , ponto médio do segmento F 1 F 2
  • Vértices: pontos A 1 e A 2
  • Eixo real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento   2 a
  • Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2 b
  • O valor de b pode ser obtido por meio da seguinte relação:

    c 2 = a 2 + b 2

    CUIDADO para não confundir essa relação com a da elipse!!

    A excentricidade da hipérbole é calculada da mesma forma que a da elipse, e = c a , porém agora na hipérbole e > 1 , pois c > a .

    O último elemento importante são as assíntotas, que na figura acima são as retas tracejadas.

    Vamos colocar tudo o que vimos de forma prática, dividindo em 3 casos:

  • Caso 1: O eixo real está sobre o eixo dos   x
  • Caso 2: O eixo real está sobre o eixo dos y
  • Caso 3: Translação

Caso 1:

Considerando um ponto P ( x ,   y ) um ponto qualquer de uma hipérbole de focos F 1 ( - c , 0 ) e F 2 ( c , 0 ) .

Usando a definição:

| d ( P ,   F 1 ) - d ( P ,   F 2 ) | = 2 a

Fazendo as contas, chega-se em:

Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo x . Para esse caso nossos elementos são:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0

Assíntotas:

y = ± b a x

Caso 2:

Fazendo o mesmo procedimento do anterior, mas agora considerando a figura a seguir, temos:

A expressão fica:

Essa é a equação reduzida ou canônica da hipérbole de centro na origem e eixo real sobre o eixo y .

Para esse caso nossos elementos são:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a

Assíntotas:

y = ± a b x

Caso 3:

No caso da translação temos duas possibilidades mostradas na figura a seguir:

Uma translação nada mais é que deslocarmos o centro da hipérbole, ou seja, nos casos 1 e 2 os centros eram ( 0 ,   0 ) , agora, os centros estão deslocados. Então, nossos centros serão:

C ( h ,   k )

Nossas equações ficarão:

( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1

Então, para resolver usaremos o mesmo esquema que para a parábola:

  1. Escrever em um sistema de coordenadas x ' y ' , que possui relações
  2. x ' = x - h

    y ' = y - k

  3. Achar todos os elementos no sistema x ' y ' considerando um dos casos 1 ou 2.
  4. Passar do sistema x ' y ' para o nosso tradicional x y

Note que:

  • O valor de a 2 está sempre associado à parcela positiva, ou seja, + x 2 a 2 ou + y 2 a 2

Pronto!! Agora sim, terminamos a teoria!!

Bora praticar, então?!!

Exercícios de Livros Relacionados