Hipérboles

Opa!! Vamos começar a fazer exercícios com hipérboles?!

Nosso exercício consiste em determinarmos os elementos: vértices, focos. Excentricidade e as assíntotas da hipérboles. Bora começar!!!

a)

Em todas a cônicas o primeiro passo é deixar em uma das formas reduzidas para conseguirmos retirar os elementos. Vamos fazer isso, então:

Dividindo tudo por

Chegamos na forma canônica do CASO 1.

Assim, conseguimos retirar os valores de e .

Para acharmos o valor de vamos utilizar a seguinte relação:

Como estamos no CASO 1, teremos a seguinte figura:

Assim, nosso focos e vértices serão:

As assíntotas serão:

E por fim, a excentricidade:

Substituindo os valores, teremos:

Fazendo um esboço, temos:

b)

Mesmo procedimento do item anterior:

Dividindo tudo por :

Estamos novamente no CASO 1. Então, teremos:

Então, nossos vértices, focos, assíntotas e excentricidade serão:

Subsituindo os valores:

Esboçando:

c)

Mesma coisa dos itens anteriores!! Então, dividindo tudo por , temos:

Agora, diferentemente dos outros dois itens estamos no CASO 2. Com a equação na forma reduzida conseguimos retirar os valores de e e ainda achar pela relação .

Como estamos no CASO 2 temos a seguinte figura:

Então, nossos focos, vértices, assíntotas e excentricidade serão:

Substituindo os valores, temos:

Esboçando:

d)

Estamos novamente no CASO 2.Vamos achar então todos os parâmetros como fizemos antes:

Retirando os valores das constantes:

Sabemos do item anterior que nossos parâmetros, são:

Esboçando,

Ufaaa!! Está quase terminando, força!! Só falta mais esse item ;)

e)

Voltamos para o CASO 1.

Dos dois primeiros itens e da teoria sabemos que:

Subsituindo os valores encontrados, temos:

As assíntotas serão:

E por fim, a excentricidade:

Para terminar, esboço:

Bora praticar mais sobre as hipérboles!! Queremos achar agora a equação da hipérbole que está centrada na origem, ou seja, , possui seus focos em e e passa pelo ponto . Para comerçar vamos fazer um esboço com os dados que temos.

Esboçando teremos:

Então, sabemos que estamos no CASO 1. Pela figura, conseguimos descobrir o valor de e .

Com a relação :

Sabendo os valores de e e ainda sabemos da teoria que se estamos na CASO 1, a equação da hipérbole possui o seguinte jeitão:

Então, teremos:

Pronto!! Terminamos!!

Temos a expressão de um hipérbole e por meio dela devemos determinar: centro, vértices, focos e ainda fazer um esboço.

Vamos começar, então!!

Primeiro, devemos deixar a expressão parecida com uma das formas reduzidas que vimos na teoria!! Para isso, vamos completar quadrados e ajeitar a expressão:

Separando as coias que tem e

Podemos reescrever essa parte com da seguinte maneira

E vamos fazer a mesma coisa pra

Assim a nossa equação fica

Dividindo tudo por , temos:

Chegamos na forma do CASO 3. Com a expressão nesse formato conseguimos identificar o valor de e . O valor de continua a ser o maior valor do denominador, e o o menor, assim:

Para achar o valor de , usamos a relação :

Já temos os valores de e . Como estamos no CASO 3, vamos fazer uma mudança de coordenadas para então resolvermos o problema num sistema como se fosse o CASO 2. Assim, mudando as coordenadas por:

Nossa equação no sistema fica:

Pronto, agora estamos no CASO 2, e achamos os parâmetros normalmente.

Nossa hipérbole estará como na figura acima no sistema , então teremos:

Substituindo os valores de e

Mas, cuidado, ainda não terminamos, pois esses valores que encontramos acima estão no sistema . Vamos voltar para o sistema usando as seguintes relações:

Pronto!! Agora sim achamos os parâmetros no . Só falta fazer o esboço!!

Temos uma expressão que é a expressão de alguma das três cônicas que vimos: parábola, elipse ou hipérbole. No primeiro item devemos identificar a cônica e escrever a equação na forma canônica( ou reduzida). Já no segundo item devemos encontrar todos os elementos da cônica, como fizemos nos exercícios anteriores.

a) Para identificarmos a cônica vamos completar quadrados e ver com qual cônica expressão se assemelha.

Dividindo tudo por :

Bom, analisando a equação temos uma hipérbole!!

Para deixar a expressão numa forma reduzida, vamos fazer uma mudança de coordenadas de tal forma, que:

Então, teremos:

Item está feito!!

b) Focos, vértices, excentricidade e como é uma hipérbole, as assíntotas!!

Como podemos notar do item estamos no CASO 3, ou seja, na translação. Como já fizemos uma mudança de coordenadas para o sistema vamos achar os parâmetros nesse sistema como no CASO 1 e depois passamos para o sistema .

Da expressão , tiramos os valores de e .

O valor de achamos com a relação

Como estamos no CASO 1 em , temos a seguinte figura:

Teremos, então nossos vértices em

Nossos focos:

As assíntotas em são:

Por fim a excentricidade:

Achamos tudo o que precisávamos, MAS em e nossa resposta deve ser em . Para isso, vamos utilizar as relações:

Para muda para o sistema

Vértices:

Focos:

Assíntotas:

E a excentricidade não muda já que não depende de :

Uhullll!!! Terminamos!!