Forma Canônica de Jordan
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Olá, tudo bem?
Neste capitulo vamos aprender sobre a forma Canônica de Jordan. Ela é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal.
Mas, antes de vermos como funciona a forma de Jordan, vamos falar sobre como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz. Ele será útil na hora de encontrarmos a Forma de Jordan.
Polinômio Mínimo
Vamos ver como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz através de um exemplo pra ficar mais claro:
Seja dado por . Então,
onde c é a base canônica de . Vamos encontrar o polinômio mínimo desta matriz.
Antes de encontrarmos o polinômio mínimo, precisamos encontrar o polinômio característico dela.
Ou seja,
Fazendo a subtração das matrizes, temos
Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
ou
Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, usaremos: . Isso sempre deverá valer para o polinômio mínimo!
Vamos então verificar primeiro se é o polinômio mínimo.
Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, não é o polinômio mínimo.
Portanto, o polinômio mínimo de A é
.
Beleza?! Agora vamos ver como funciona a forma de Jordan?
Forma de Jordan para matrizes 3x3
Vamos usar o operador
Onde conhecemos
E a matriz associada vai ser uma matriz 3x3 que vamos chamar de . Beleza?
Aí digamos que fizemos todo aquele processo de diagonalizar para tentar melhorar o operador e tals, aquele processinho chatinho mas necessário e chegamos nisso aqui:
Que possui uma raíz tripla que vamos chamar de .
No caso ideal pra gente, se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:
Mas isso para nossa tristeza nem sempre acontece. É aí que entra a tão esperada forma de Jordan! Nós vamos trabalhar com outros 2 casos possíveis:
Caso 1:
Caso 2:
A forma de demonstrar como chegar nessas duas matrizes é beeem complicadinha, então é só confiar que, nos casos mais simples, a matriz vai ser semelhante a uma dessas duas matrizes, beleza?
Vamos ver então o que acontece a nível operador pra tentar entender um pouco melhor essa bagaça.
Sabemos que existe uma base , onde são:
Agora vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Estamos usando o operador
Então vamos ter:
Caso 2:
Como estamos usando o operador
Então vamos ter:
A pergunta que vale agora é: Como saber qual dos dois casos utilizar?
A ideia é a seguinte: Quando procuramos os autovalores nós encontramos com raíz de multiplicidade 3, beleza? Ao encontrar os autovetores vamos ter 3 possíveis soluções: ou 3 vetores L.I., ou 2 vetores L.I ou somente 1 vetor L.I. Então:
Se encontrarmos somente 1 vetor L.I, vamos ter o caso 2.
Se encontrarmos 2 vetores L.I., teremos o caso 1.
Se os 3 vetores forem L.I. a matriz será igual a matriz diagonal.
Ai o resto vai ser operação, as continhas que tanto amamos ahah.
Belezinha?
Forma de Jordan para matriz 2x2
Com as matrizes 2x2 teremos algo bem parecido com a 3x3, porém o operador que estaremos utilizando é
Se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:
Mas, como nada é perfeito, isso quase nunca acontece. Então, aí que entra a Forma de Jordan!
O que ela diz? Ela vai garantir que a matriz A vai ser semelhante a matriz abaixo:
De resto vai ser tudo bem parecido, e até mais simples, do que o caso 3x3. É só cair pra dentro dos exercícios e praticar muito!