Forma Canônica de Jordan
Teoria
Olá, tudo bem?
Neste capitulo vamos aprender sobre a forma Canônica de Jordan. Ela é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal.
Mas, antes de vermos como funciona a forma de Jordan, vamos falar sobre como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz. Ele será útil na hora de encontrarmos a Forma de Jordan.
Polinômio Mínimo
Vamos ver como encontrar o polinômio mínimo de uma matriz através de um exemplo pra ficar mais claro:
Seja dado por . Então,
onde c é a base canônica de . Vamos encontrar o polinômio mínimo desta matriz.
Antes de encontrarmos o polinômio mínimo, precisamos encontrar o polinômio característico dela.
Ou seja,
Fazendo a subtração das matrizes, temos
Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
ou
Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, usaremos: . Isso sempre deverá valer para o polinômio mínimo!
Vamos então verificar primeiro se é o polinômio mínimo.
Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, não é o polinômio mínimo.
Portanto, o polinômio mínimo de A é
.
Beleza?! Agora vamos ver como funciona a forma de Jordan?
Forma de Jordan para matrizes 3x3
Vamos usar o operador
Onde conhecemos
E a matriz associada vai ser uma matriz 3x3 que vamos chamar de . Beleza?
Aí digamos que fizemos todo aquele processo de diagonalizar para tentar melhorar o operador e tals, aquele processinho chatinho mas necessário e chegamos nisso aqui:
Que possui uma raíz tripla que vamos chamar de .
No caso ideal pra gente, se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:
Mas isso para nossa tristeza nem sempre acontece. É aí que entra a tão esperada forma de Jordan! Nós vamos trabalhar com outros 2 casos possíveis:
Caso 1:
Caso 2:
A forma de demonstrar como chegar nessas duas matrizes é beeem complicadinha, então é só confiar que, nos casos mais simples, a matriz vai ser semelhante a uma dessas duas matrizes, beleza?
Vamos ver então o que acontece a nível operador pra tentar entender um pouco melhor essa bagaça.
Sabemos que existe uma base , onde são:
Agora vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Estamos usando o operador
Então vamos ter:
Caso 2:
Como estamos usando o operador
Então vamos ter:
A pergunta que vale agora é: Como saber qual dos dois casos utilizar?
A ideia é a seguinte: Quando procuramos os autovalores nós encontramos com raíz de multiplicidade 3, beleza? Ao encontrar os autovetores vamos ter 3 possíveis soluções: ou 3 vetores L.I., ou 2 vetores L.I ou somente 1 vetor L.I. Então:
Se encontrarmos somente 1 vetor L.I, vamos ter o caso 2.
Se encontrarmos 2 vetores L.I., teremos o caso 1.
Se os 3 vetores forem L.I. a matriz será igual a matriz diagonal.
Ai o resto vai ser operação, as continhas que tanto amamos ahah.
Belezinha?
Forma de Jordan para matriz 2x2
Com as matrizes 2x2 teremos algo bem parecido com a 3x3, porém o operador que estaremos utilizando é
Se A fosse diagonalizável teríamos que a matriz A seria semelhante a uma matriz diagonal:
Mas, como nada é perfeito, isso quase nunca acontece. Então, aí que entra a Forma de Jordan!
O que ela diz? Ela vai garantir que a matriz A vai ser semelhante a matriz abaixo:
De resto vai ser tudo bem parecido, e até mais simples, do que o caso 3x3. É só cair pra dentro dos exercícios e praticar muito!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes
Seja dado por . Então,
onde c é a base canônica de . Encontre o polinômio mínimo desta matriz.
Passo 1
Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.
Ou seja,
Fazendo a subtração das matrizes, temos
Passo 2
Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
ou
Então só falta verificar quais dessas duas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que .
Vamos então verificar primeiro se é o polinômio mínimo.
Não importa os valores das outras entradas, essa matriz não é nula. Logo, não é o polinômio mínimo.
Portanto, o polinômio mínimo de A é
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes
Seja
Encontre o polinômio mínimo desta matriz.
Passo 1
Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.
Ou seja,
Fazendo a subtração das matrizes, temos
Passo 2
Agora que já encontramos os polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
, ou
Então só falta verificar quais dessas três possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que .
Vamos então verificar primeiro se é o polinômio mínimo.
Então a matriz não é nula. Logo, não é polinômio mínimo.
Agora, vamos verificar se é o polinômio mínimo.
Portanto, é o polinômio mínimo de .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Álgebra Linear II – Capitulo 9: Polinômio Mínimo e Operadores Nilpotentes
Seja
Encontre o polinômio mínimo desta matriz.
Passo 1
Antes de encontrarmos o polinômio mínimo desta matriz, precisamos encontrar o polinômio característico dela.
Fazendo as continhas vamos ter que o polinômio característico da matriz é dado por
Passo 2
Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
Então só falta verificar quais dessas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que .
Ao verificar primeiro se é o polinômio mínimo, temos
Então a matriz é nula. Logo, é polinômio mínimo.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #4
UFJF - Prova de Álgebra Linear — Turma A — 29/05/2012
Escreva as possíveis formas canônicas de Jordan do operador cujo polinômio característico é e cujo polinômio minimal é .
Passo 1
Bom, de cara conseguimos reparar que os autovalores são 3 e 2, com multiplicidade 5 e 4, respectivamente.
Então, a matriz deve ter 5 entradas 3 e 4 entradas 2 na diagonal.
Além disso, ambos os autovalores são elevados a 2 no polinômio minimal. Então o bloco elementar de maior ordem de ambos os autovalores deve ter ordem 2.
Ficamos, então, com as seguintes possibilidades:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #5
UFF – P1 de Álgebra Linear II
Seja um operador linear definido pela matriz abaixo com respeito a base canônica .
Faça o seguinte:
- Calcule o polinômio característico;
- Encontre os autovalores;
- Obtenha o polinômio mínimo;
- Decida se o operador é diagonalizável ou não (justifique);
- Se for diagonalizável obtenha a matriz tal que é diagonal. Caso não seja diagonalizável, obtenha a forma de Jordan do Operador.
Passo 1
- Para encontrar o polinômio característico, usamos
- A partir da letra (a) conseguimos concluir que os autovalores são e .
- Agora que já encontramos o polinômio característico, conseguimos encontrar os possíveis polinômios mínimos:
- Este operador não é diagonalizável, uma vez que seu polinômio característico tem raízes repetidas.
- Já sabemos que esta matriz tem um bloco de Jordan de tamanho 2 associado ao autovalor e um bloco de Jordan de tamanho 1 associado ao autovalor .
Assim, o polinômio característico da matriz é
e
Então só falta verificar quais dessas possibilidades acima será o nosso polinômio mínimo. Para isso, precisamos lembrar que .
Vamos verificar primeiro se é o polinômio mínimo de :
Portanto, o polinômio mínimo de A é
Então, a forma de Jordan é
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)