Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 80a
O paralelogramo tem os lados e paralelos ao eixo transverso da hipérbole e os lados e contidos em retas tangentes a . Os pontos de tangência têm coordenadas inteiras, e um dos lados tem comprimento . Conhecendo , determine e .
Resolva o item , com ‘’eixo conjugado’’ em lugar de ‘’eixo transverso’’
Passo 1
Sabendo que o eixo transversal é o eixo que liga os vértices da hipérbole e que essa parábola terá o eixo transversal no eixo (pelo centro na origem e por ter negativo na equação de hipérbole igual a ), então os lados e tem a mesma direção do eixo , já que eles são paralelos ao eixo transversal.
Agora para a reta tangente a hipérbole e que tem como ponto dessa reta .
Aplicando o ponto nessa equação teremos:
Onde é o ponto de tangência.
E aplicando na hipérbole nós teremos:
Então:
Isso nos dará resultados para iguais a e , porém como nos diz que os pontos de tangência são números inteiros então , e será
Isso nos dará uma equação de reta tangente igual a:
Ou
Passo 2
E como o vértice desse paralelogramo está a de distância do ponto e pertence a mesma reta então:
Raízes iguais a e .
Teremos duas posições possíveis para , uma em e e outra em e .
Passo 3
Por ser um paralelogramo então temos uma outra reta que também será tangente a essa hipérbole (dito pelo enunciado). Logo pela equação da tangente teremos:
Comparando com teremos:
Aplicando na hipérbole nós teremos:
Com isso encontramos , porém como o valor do passo então temos aqui uma tangente em e . O que nos dá uma reta tangente em :
Passo 4
Isso nos permite matar os pontos que estão em retas paralelas ao eixo transversal como e , pois eles estão a dois de distância de e respectivamente (a reta está a duas casas para a direita de , aplique e veja a distância em das duas retas). Então:
Um gráfico dessa questão pode ser visto abaixo.
Resposta
Ou