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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 80a

( a ) O paralelogramo A B C D tem os lados A B e D C paralelos ao eixo transverso da hipérbole H : x 2 3 - y 2 2 = 1 e os lados A D e B C contidos em retas tangentes a H . Os pontos de tangência têm coordenadas inteiras, e um dos lados tem comprimento 2 2 . Conhecendo A = - 4 , - 5 , determine B , C e D .

( b ) Resolva o item ( a ) , com ‘’eixo conjugado’’ em lugar de ‘’eixo transverso’’

Passo 1

Sabendo que o eixo transversal é o eixo que liga os vértices da hipérbole e que essa parábola terá o eixo transversal no eixo x (pelo centro na origem e por ter q negativo na equação de hipérbole igual a x 2 p + y 2 q = 1 ), então os lados A B e D C tem a mesma direção do eixo x , já que eles são paralelos ao eixo transversal.

Agora para a reta tangente a hipérbole e que tem como ponto dessa reta ( - 4 , - 5 ) .

h x 3 - k y 2 = 1

Aplicando o ponto A nessa equação teremos:

- 4 h 3 + 5 k 2 = 1

Onde ( h , k ) é o ponto de tangência.

- 8 h + 15 k = 6 → k = 6 15 + 8 h 15

E aplicando ( h , k ) na hipérbole nós teremos:

h 2 3 - k 2 2 = 1

Então:

h 2 3 - ( 6 15 + 8 h 15 ) 2 2 = 1

Isso nos dará resultados para h iguais a h = - 1.884 e h = 3 , porém como nos diz que os pontos de tangência são números inteiros então h = 3 , e k será

k = 6 15 + 8 ⋅ 3 15 = 2

Isso nos dará uma equação de reta tangente igual a:

3 x 3 - 2 y 2 = 1

x - y - 1 = 0

Ou

y = x - 1

Passo 2

E como o vértice D desse paralelogramo ( x , y ) está a 2 2 de distância do ponto A e pertence a mesma reta então:

- 4 - x 2 + - 5 - y 2 = 2 2

- 4 - x 2 + - 5 - x + 1 2 = 2 2

16 + 8 x + x 2 + ( 16 + 8 x + x 2 ) = 8

2 x 2 + 16 x + 24 = 0

x 2 + 8 x + 12 = 0

Raízes iguais a x = - 2 e x = - 6 .

Teremos duas posições possíveis para D , uma em x = - 2 e y = - 3 - 1 = - 4 e outra em x = - 4 e y = - 4 - 1 = - 5 .

D :   - 2 , - 3 o u   ( - 6 , - 7 )

Passo 3

Por ser um paralelogramo então temos uma outra reta y = x + c que também será tangente a essa hipérbole (dito pelo enunciado). Logo pela equação da tangente teremos:

h x 3 - k y 2 = 1

2 h x - 3 k y = 6

y = 2 h 3 k x - 6 3 k

Comparando com y = x + c teremos:

2 h 3 k = 1 → 2 h = 3 k → h = 3 k 2

- 2 k = c

Aplicando h = 3 k 2 na hipérbole nós teremos:

3 k 2 2 3 - k 2 2 = 1

Com isso encontramos k = ± 2 , porém como k = 2 o valor do passo 2 então temos aqui uma tangente em k = - 2 e h = - 3 . O que nos dá uma reta tangente em :

- 2 - 2 = c = 1

y = x + 1

Passo 4

Isso nos permite matar os pontos que estão em retas paralelas ao eixo transversal como B e C , pois eles estão a dois de distância de A e D respectivamente (a reta y = x - 1 está a duas casas para a direita de y = x + 1 , aplique y = 0 e veja a distância em x das duas retas). Então:

B = - 4 - 2 , - 5 = ( - 6 , - 5 )

C = - 2 - 2 , - 3 = - 4 , - 3 o u   C = - 6 - 2 , - 7 = ( - 8 , - 7 )

Um gráfico dessa questão pode ser visto abaixo.

Resposta

a )   D : - 2 , - 3 ; B = - 6 , - 5 ; C = ( - 4 , - 3 )

Ou

D : - 6 , - 7 ; B = - 6 , - 5 ; C = ( - 8 , - 7 )

Ver Outros Exercícios desse livro

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Prove que o produto das distâncias de um ponto da hipérbole às assíntotas é a b c 2 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
A hipérbole H tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Escreva equações reduzidas de H e de suas assíntotas e determine os focos e vértices. A = 6 , 7 , B = - 1,0 . A
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .