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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 21f

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:

  1. Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .
  2. Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
  3. Os focos são - 5,0 e 5,0 e a amplitude focal 9 / 2 .
  4. Os focos são - 5,0 e 5,0 e as assíntotas tem equações 2 y = x e 2 y = - x .
  5. O ponto 5,9 pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações y = x e y = - x .
  6. Os focos estão no eixo O y , as assíntotas tem equações 2 y + 3 x = 0 e 2 y - 3 x = 0 , e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:

x 2 p + y 2 q = 1

Como as assíntotas dadas na questão estão na forma 2 y ± 3 x = 0 , isto é, são retas que passam pela origem, sabemos que a hipérbole realmente está centrada na origem!

Além disto, como os focos estão no eixo O y , sabemos então que p = - a 2 < 0 e q = b 2 > 0 . Logo,

- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Passo 2

Vamos descobrir agora quem são esses a e b .

Começaremos por utilizar a relação do eixo conjugado. Como a hipérbole possui focos no eixo O y , o eixo conjugado possui comprimento 2 a = 8 . Logo, a = 4 .

Agora, vamos partir para as assíntotas. Como a hipérbole está centrada na origem, sabemos que as assíntotas são dadas por:

y = ± b a x

Vamos colocar agora a relação das assíntotas dadas na questão no formato acima. Portanto,

2 y ± 3 x = 0

2 y = ± 3 x

y = ± 3 2 x

Comparando as duas relações, temos:

b a = 3 2

b = 3 a 2

Mas como descobrimos anteriormente que a = 4 , temos:

b = 3 ⋅ 4 2 = 6

Portanto,

- x 2 16 + y 2 36 = 1

Resposta

- x 2 16 + y 2 36 = 1

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