Os vértices do paralelogramo pertencem as assíntotas da hipérbole e um de seus lados mede e está contido em uma reta tangente a . Determine .

Sabendo que essa reta de comprimento de sai de uma assíntota para a outra. E chamando a reta com coeficiente positivo e a reta com coeficiente negativo nós teremos:

Agora vamos para a equação da reta tangente sabendo que ele vai do ponto e vai para o ponto , então:

Onde

Aplicando o ponto

Então a equação da reta tangente será algo como:

E como a equação da reta tangente para essa hipérbole terá uma forma de:

Então podemos escrever a equação da seguinte forma:

Então podemos ver que:

Substituindo isso na equação no final do passo 2 teremos:

Fazendo nós teremos:

Cujas raízes são:

Então:

Como:

Então quando:

E temos que ver que quando temos um ponto (2 tem coeficiente negativo) nós teremos o seu complementar , assim como por ter também teremos seu complementar . Pois esses pontos estão em pontos simétricos causadas pelas retas assíntotas. Note que já fechamos um paralelogramo onde todos os lados tem comprimento igual a (isso se deve a equação do quarto grau que encontramos). Isso nos dá dois paralelogramos com vértices em:

E

A imagem desse gráfico está representada abaixo.