Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 23
Prove que o produto das distâncias de um ponto da hipérbole às assíntotas é .
Passo 1
Vamos lá! Estamos trabalhando aqui com uma hipérbole. Precisamos provar uma relação entre distâncias.
Para facilitarmos a nossa vida, vamos assumir que a hipérbole está centrada na origem e com focos no eixo (isto não impacta na nossa análise em problema nenhum).
Portanto, a nossa hipérbole possui a seguinte equação:
Um ponto se e somente se ele satisfaz a equação desta mesma hipérbole. Portanto,
Guardem esta relação na mente de vocês pois ela aparecerá no futuro próximo!!!
Bom, agora, só nos falta obter a equação das assíntotas da hipérbole. Por definição, elas são dadas por:
Passo 2
Pronto, nosso trabalho agora é calcular a distância do nosso ponto até cada uma das retas. Começaremos então pela reta .
Como estamos trabalhando no plano, não precisamos utilizar aquelas relações desenvolvidas para o , utilizando notações de vetores. A dica é pensarmos na equação da reta como a equação do plano na sua forma geral e fazer distância de ponto a plano. Sai tudo muito mais fácil.
Neste caso, seria então o seguinte plano:
Portanto, a distância do ponto à reta será:
Como para uma hipérbole, temos:
Agora, precisamos repetir o mesmo procedimento para a reta 2 . A única mudança será no sinal das incógnitas. Temos então a seguinte equação do plano relativo a esta reta:
Portanto, se repetirmos o mesmo procedimento que fizemos para calcular a distância, vamos obter:
Como para uma hipérbole, temos:
Passo 3
Agora só nos resta calcularmos o produto entre ambas as distâncias. Portanto,
Colocando em evidência no numerador, teremos:
Lembram da relação que eu disse que utilizaríamos no futuro próximo? Ela era:
Que é exatamente o que aparece no nosso numerador! Portanto,
E assim provamos a relação!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)