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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 3.Exercício - Ex. 11

11.Resolva os sistemas nas incógnitas vec x e vec y :

a ) {[[vec x + 2 vec y = vec u],[3 vec x - vec y = 2 vec u + vec v]])

b) {[[vec x + vec y = vec u - 2 vec v],[vec x - vec y = 3 vec u]])

Passo 1

Nós já vimos por todas as questões passadas que as operações fundamentais tem a mesma regra nos vetores e nos número reais. Então, faremos essas duas questões de forma direta, sem citar as propriedades que estamos usando. Afinal de contas, você faz isso nos números reais. Vamos lá!

Passo 2

Começaremos pela letra a)

Multiplicaremos toda a equação que está embaixo por 2 .

{[[vec x + 2 vec y = vec u],[6 vec x - 2 vec y = 4 vec u + 2 vec v]])

Agora a gente soma as duas equações. Se prestar bem atenção, vai ver que o 2 vec y vai cortar, porém se não entendeu irei fazer: vec x + 2 vec y + 6 vec x - 2 vec y = vec u + 4 vec u + 2 vec v

7 vec x + ( 2 vec y - 2 vec y ) = 5 vec u + 2 vec v

7 vec x = 5 vec u + 2 vec v

vec x = (5 vec u + 2 vec v)/(7)

Belezaa! Achamos o vec x , agora precisamos achar o vec y , para isso necessitamos substituir em alguma dessas equações. Substituirei na primeira!

vec x + 2 vec y = vec u

(5 vec u + 2 vec v)/(7) + 2 vec y = vec u

2 vec y = vec u - ((5 vec u + 2 vec v)/(7))

2 vec y = (7 vec u - 5 vec u - 2 vec v)/(7)

2 vec y = (2 vec u - 2 vec v)/(7)

vec y = (2 vec u - 2 vec v)/(14)

Dividindo a parte de cima (numerador) e a parte de baixo (denominador) por 2 , temos:

vec y = (vec u - vec v)/(7)

Então para a letra a), temos:

vec x = (5 vec u + 2 vec v)/(7) e vec y = (vec u - vec v)/(7)

Passo 3

Vamos dar uma respirada e vamos para a letra b)

{[[vec x + vec y = vec u - 2 vec v],[vec x - vec y = 3 vec u]])

Somaremos ambas as equações, lembrando o vec y vai sumir, mas caso você não veja, irei mostra aqui embaixo:

Somando, temos:

vec x + vec y + vec x - vec y = vec u - 2 vec v + 3 vec u

2 vec x + (vec y - vec y) = 4 vec u - 2 vec v

2 vec x = 4 vec u - 2 vec v

vec x = (4 vec u - 2 vec v)/(2)

vec x = 2 vec u - vec v

Para acharmos vec y , teremos que substituir vec x em alguma das equações do sistema, substituirei na primeira, porém você decide.

vec x + vec y = vec u - 2 vec v

2 vec u - vec v + vec y = vec u - 2 vec v

vec y = vec u - 2 vec v - 2 vec u + vec v

vec y = - vec u - vec v

Então, para a letra b), temos:

vec x = 2 vec u - vec v

vec y = - vec u - vec v

Resposta

letra a), temos:

vec x = (5 vec u + 2 vec v)/(7) e vec y = (vec u - vec v)/(7)

letra b), temos:

vec x = 2 vec u - vec v e vec y = - vec u - vec v

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