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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 21.Exercício - Ex. 2

Sejam Σ 1 = ( O 1 ,   e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) e Σ 2 = ( O 2 ,   f 1 → ,   f 2 → ,   f 3 → ) sistemas de coordenadas tais que

O 2 = 1 ,   0 ,   0 Σ 1                 f 1 → = e 1 →                   f 2 → = - e 3 →               f 3 → = e 2 →    

Obtenha, em relação a Σ 2 ,

a) uma equação vetorial de r : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 0 ,   1 ,   - 1 Σ 1 ;

b) uma equação vetorial de r : x - 2 y - 3 z = 0 = x + y + 4 z - 3 Σ 1 ;

c) uma equação geral de π : 2 x - y + z = 0 Σ 1 .

Passo 1

Primeiro vamos escrever as equações de mudança de coordenadas ok?

Pelas informações do exercício, temos que os vetores na base Σ 1 são

f 1 → = 1 e 1 → + 0 e 2 → + 0 e 3 → = ( 1 ,   0 ,   0 )

f 2 → = 0 e 1 → + 0 e 2 → - 1 e 3 → = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

f 3 → = 0 e 1 → + 1 e 2 → + 0 e 3 → = ( 0 ,   1 ,   0 )

Sabendo que O 2 = 1 ,   0 ,   0 Σ 1 , temos

x = 1 + 1 u + 0 v + 0 w y = 0 + 0 u + 0 v + 1 w z = 0 + 0 u - 1 v + 0 w   ( I I )

Resolvendo esse sistema para u ,   v ,   w temos as equações de mudança de coordenadas:

u = x - 1 v = - z w = y   ( I )

Passo 2

a) Da equação de r , temos que

X = ( 0 ,   λ ,   - λ )

x = 0

y = λ

z = - λ

Substituindo no sistema ( I ) :

u = 0 - 1 = - 1 v = - - λ = λ w = λ

Então a reta nas novas coordenadas é

u ,   v ,   w = ( - 1 ,   λ ,   λ )

r :   X = - 1 ,   0 ,   0 + λ . 0 ,   1 ,   1 Σ 2

Passo 3

b) Primeiro vamos encontrar a equação vetorial de r na base Σ 1 . Temos que

x - 2 y - 3 z = 0 - x - y - 4 z + 3 = 0

Somando as duas equações

- 3 y - 7 z + 3 = 0

y = - 7 z 3 + 1

Substituindo na primeira equação:

x - 2 - 7 z 3 + 1 - 3 z = 0

x + 14 z 3 - 2 - 3 z = 0

x = - 5 z 3 + 2

Então, a reta é assim olha:

x ,   y ,   z = - 5 z 3 + 2 ,   - 7 z 3 + 1 ,   z

r :   X = 2 ,   1 ,   0 + λ . - 5 3 ,   - 7 3 ,   1 Σ 1

Passo 4

Temos da equação de r que

X = - 5 λ 3 + 2 ,   - 7 λ 3 + 1 ,   λ

Substituindo no sistema ( I ) :

u = - 5 λ 3 + 2 - 1 = - 5 λ 3 + 1 v = - λ w = - 7 λ 3 + 1

Então, a equação da reta nas novas coordenadas é

u ,   v ,   w = - 5 λ 3 + 1 ,   - λ ,   - 7 λ 3 + 1

X = 1 ,   0 ,   1 + λ . - 5 3 ,   - 1 ,   - 7 3 Σ 2

Passo 5

c) Temos π : 2 x - y + z = 0 Σ 1 , e lá do passo 1 temos que

x = 1 + u y = w z = - v

Substituindo isso na equação do plano:

π : 2 . 1 + u - w - v = 0

π : 2 u - v - w + 2 = 0 Σ 2

Resposta

a) r :   X = - 1 ,   0 ,   0 + λ . 0 ,   1 ,   1 Σ 2

b) X = 1 ,   0 ,   1 + λ . - 5 3 ,   - 1 ,   - 7 3 Σ 2

c) π : 2 u - v - w + 2 = 0 Σ 2

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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S={ u 1 ,u 2 } .(a) u 1 = 1 ,0 ;u 2 =0 ,1 ,w = 3 ,- 7 .
Calcule a expressão dada com u = 2 ,- 2,3 ,v = 1 ,- 3 ,4 ,w = 3 ,6 ,- 4 . u + v + w u - v 3 × v - 3 × v ) u - v
Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . 3 × u - 5 × v + w 3 × u - 5 × v + w - u × v
Calcule a expressão dada com u = - 2 ,- 1 ,4 ,5 ,v = 3 ,1 ,- 5 ,7 ,w = ( - 6 ,2 ,1 ,1 ) . u - 2 × v - 3 × w u + - 2 v + - 3 w u - v × w
Calcule a expressão dada com u = 2 ,- 2,3 ,v = 1 ,- 3 ,4 ,w = 3 ,6 ,- 4 . u + v . u + v . - 2 × u + 2 × v 3 × u - 5 × v + w