O retângulo A B C D tem B C como diagonal e está contido no plano π : x + y + z = 0 . As retas A B e B C formam um ângulo de 30 ° . Determine B ,C e D , sabendo que A = 1 ,- 1,0 e que B pertence à reta r : X = 0,1 , 1 + λ 1,1 , 0 .

Há duas possibilidades: B = - 1 ,0,1 ; C = 1 ,0 , - 1 ; D = - 1,1 , 0 ou B = - 1 ,0,1 ; C = 1 , - 2,1 ; D = - 1 ,- 1 ,2 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 10

O retângulo tem como diagonal e está contido no plano . As retas e formam um ângulo de . Determine e , sabendo que e que pertence à reta .

Passo 1

Inicialmente, sabemos que pertence tanto ao plano quanto a reta . Logo, para encontramos basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta! Como fazemos isso? Como pertence à reta , então poderemos escrever as coordenadas de como:

para real. Nosso objetivo passa ser encontrar o valor de . Como pertence ao plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano :

Portanto, já sabemos que .

Passo 2

Resta-nos encontrar e . Há, no enunciado, duas informações que ainda não usamos:

é um retângulo. Logo, as retas e são ortogonais;
O ângulo entre as retas e vale 30°.

Passo 3

A primeira informação nos dá que os vetores e são ortogonais. Assim,

onde

Logo,

Porém, note que também pertence ao plano , de modo que Utilizando tal resultado na equação acima:

Note que agora poderemos escrever como

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda informação:

onde

Logo,

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado:

Logo, temos as seguintes possibilidades para :

Passo 5

Para encontrar o vértice , vamos usar o fato de que os vetores e são equipolentes. Lembre-se que vetores equipolentes são vetores que possuem a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo. Assim: