Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 1.2 - Ex. 1
1.2.1 Quais das Seguintes Matrizes estão escalonadas na forma reduzida:
Passo 1
Antes de partir para a resolução dessa questão, vale retornar às propriedades do escalonamento de matrizes, e das regras para sua realização. Essas informações encontram-se dispostas no Capítulo 1, seção 2.
O Primeiro passo então, é relembrar a definição que é o cerne dessa questão:
Nessa resolução, importa a definição de matrizes escalonadas reduzidas, que dispõe que uma matriz do tipo está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condições:
- Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
- O pivô (1º elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1;
- O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.
- Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.
Passo 2
O segundo passo é ir eliminando as matrizes que não estão de acordo com a definição:
- Analisando a primeira regra, podemos eliminar a matriz D, tendo em vista que sua primeira linha é nula, e pela regra, linhas nulas só devem vir abaixo das linhas não nulas.
- Analisando a segunda regra, podemos excluir a matriz B, dado que o pivô da terceira linha não é igual a 1.
- Analisando a terceira regra, pode se observar que as matrizes A e C seguem-na.
- Analisando a quarta regra, vemos que as matrizes A e C estão de acordo com o que é disciplinado por ela.
Passo 3
O terceiro e último passo, (até que enfim, né?!), é ver quais as matrizes que respeitam todas as regras:
A matriz A segue todas as regras;
A matriz B infringe a segunda regra, e, portanto, é desclassificada;
A matriz C respeita todas as regras;
A matriz D desrespeita a primeira regra, sendo, também, desclassificada.
Resposta
As matrizes que estão na forma reduzida escalonada são: A e C.
Agora que acabamos... finalmente... vamos começar outro exercício?!