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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.5 - Ex. 16

16. (a) Prove que se A e B forem matrizes semelhantes, então A 2 e B 2 também são semelhantes. Mais geralmente, prove que A k e B k são semelhantes, qualquer que seja o inteiro positivo k .

(b) Se A 2 e B 2 forem semelhantes, decorre que A e B são semelhantes? Explique.

Passo 1

(a) Bem... da definição lá de matrizes semelhantes. Pra A e B serem semelhantes, então existe uma matriz P tal que:

A = P - 1 B P

Vamos elevar ao quadrado dos dois lados:

A 2 = P - 1 B P 2

A 2 = P - 1 B P P - 1 B P

Lembre que:

P P - 1 = I

Então:

A 2 = P - 1 B I B P

Como I é como se fosse o “um” das matrizes... qualquer matriz multiplicada por ela a própria matriz.

A 2 = P - 1 B B P

A 2 = P - 1 B 2 P

Portanto, A 2 e B 2 são semelhantes, como queríamos demonstrar...

Passo 2

Bem.. quando é mais geral o buraco é um pouco mais embaixo...

A = P - 1 B P

Vamos elevar a k dos dois lados:

A k = P - 1 B P k

E queremos chegar em:

A k = P - 1 B k P

É um pouco intuitivo a gente notar que vai acontecer da mesma forma que aconteceu com 2, só que pra k , mas para provar vamos precisar usar uma técnica meio abstrata (me perdoem)...

Vamos provar por indução. Que consiste em considerar que pra k é verdade e provar que pra k + 1   também vale.

A k + 1 = P - 1 B k + 1 P

Isso é igual a:

A k A = P - 1 B k B P

Vamos fazer o inverso do que fizemos no outro passo: ( P P - 1 = I )

A k A = P - 1 B k I B P

A k A = P - 1 B k P P - 1 B P

Como A é invertível e A = P - 1 B P

A k = P - 1 B k P

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora se A 2 e B 2 são semelhantes:

A 2 = P - 1 B 2 P

A A = P - 1 B B P

A A = P - 1 B I B P

A A = P - 1 B P P - 1 B P

A = P - 1 B P

Então A   e B são semelhantes.

Resposta

(a) A k = P - 1 B k P

(b) A = P - 1 B P

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