Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 18
Nos problemas são apresentados transformações lineares. Para cada uma delas:
a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é injetora?
b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. é sobrejetora?
Passo 1
A questão pede para encontramos uma base para o núcleo e para a imagem da transformação linear .
O núcleo corresponde ao conjunto de elementos do domínio que são levados ao vetor nulo pela transformação. Assim, impomos
Fazendo isso, obtemos o sistema
Da terceira equação
Jogando nas outras duas
Essas duas equações nos dão .
Aí então o nosso sistema tem uma solução com um parâmetro livre
Então o nosso núcleo é
E a sua dimensão é
E isso significa que não é injetora.
Passo 2
Agora vamos procurar a imagem de . Pelo teorema da dimensão:
Como , segue que
Assim, uma base para a imagem deve conter dois elementos.
Pra fazer isso vamos reescrever a transformação como matriz
Pra achar a base da imagem, vamos primeiro pegar a transposta dessa matriz
Agora vamos escalonar
A base da imagem então será
Como a dimensão da imagem é menor do que a dimensão do contra-domínio, não é sobrejetora!
Resposta
a)
Não é injetora.
b)
Não é sobrejetora.