Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 12
Consideremos o espaço vetorial .
- Mostrar que a transformação linear dada por é injetora mas não é sobrejetora.
- Mostrar que a transformação linear definida por é sobrejetora mas não é injetora.
- Encontrar uma aplicação linear injetora de em .
Passo 1
Vamos lá!
Trabalhar com espaços de dimensão infinita é um pouco diferente. Não temos como calcular a dimensão de espaços, como o das imagens, já que a nossa transformação tende ao infinito (ela nunca acaba).
Além disto, como será no caso da letra b), por exemplo, temos que utilizar a indução para provar que a operação é sobrejetora.
De uma forma geral, a mensagem importante é tomarmos mais cuidado com estes espaços.
Passo 2
Vamos resolver a letra a) agora. Nela, temos que mostra que a transformação é injetora, mas não é sobrejetora.
Para mostrarmos que temos uma transformação injetora, basta vermos a condição necessária para que, dado , tenhamos , o qual deve ser o vetor nulo. Portanto,
Para que isto ocorra, temos que ter . Então, todos os coeficientes de (não importa a quantidade) devem ser iguais a zero. Em outras palavras, é o vetor nulo. Então, temos que a transformação deve ser injetora.
Já para provarmos que não é injetora, vamos fazer o seguinte. Sejam e dois vetores quaisquer pertencentes a dados por e . Se assumirmos que , será se existe algum tal que: ?
A resposta é não! A primeira co0rdenada de sempre será igual a 0. Portanto, não representa todo o espaço , e assim concluímos que não temos uma transformação sobrejetora.
Passo 3
Agora vamos resolver a letra b), a qual pede para verificarmos que é sobrejetora mas não é injetora. A ideia é semelhante ao que fizemos no Passo 2.
Para provarmos que é sobrejetora, vamos fazer o seguinte. Sejam e dois vetores quaisquer pertencentes a dados por e .
Agora, vamos olhar apenas para o vetor . Como as suas coordenadas todas pertencem aos reais, podemos ver que o vetor pode descrever qualquer vetor do . Portanto, como a imagem de corresponde ao contradomínio , temos que é sobrejetora.
Agora, vamos verificar que não é injetora. Este caso é mais simples. Vejamos dois vetores e tais que e , sendo , e consequentemente, .
Se aplicarmos a transformação a ambos os vetores, teremos:
Portanto, como dois vetores distintos levam a mesma transformação, temos que não é injetora. Desta forma, concluímos a letra b).
Passo 4
A letra c) é um pouco diferente, temos que encontrar uma aplicação injetora de um polinômio (reais) para o
Podemos obter qualquer aplicação, desde que satisfaça a questão dela ser injetora.
Então, para que vamos ter trabalho? Vamos obter a aplicação mais simples possível. Ela será tal que:
A única forma para que seja igual a zero é que . Assim, o núcleo contém apenas o vetor nulo e temos uma transformação injetora.
Novamente, podemos criar qualquer transformação. O importante, é que a aplicação seja injetora (núcleo contém apenas o vetor nulo). Esse é o nosso único foco!
Resposta
Para as letras a) e b), as provas estão no Passo 2 e 3. Já para a letra c), podemos criar qualquer aplicação, desde que ela seja injetora. Aqui foi escolhida a seguinte aplicação: