Consideremos o espaço vetorial R ∞ = a 1 , a 2 , … | a i ∈ R .

  1. Mostrar que a transformação linear T : R ∞ → R ∞ dada por T a 1 , a 2 , … = 0 , a 1 , a 2 , … é injetora mas não é sobrejetora.
  2. Mostrar que a transformação linear F : R ∞ → R ∞ definida por F a 1 , a 2 , … = a 2 , a 3 , … é sobrejetora mas não é injetora.
  3. Encontrar uma aplicação linear injetora de P R em R ∞ .

Passo 1

Vamos lá!

Trabalhar com espaços de dimensão infinita é um pouco diferente. Não temos como calcular a dimensão de espaços, como o das imagens, já que a nossa transformação tende ao infinito (ela nunca acaba).

Além disto, como será no caso da letra b), por exemplo, temos que utilizar a indução para provar que a operação é sobrejetora.

De uma forma geral, a mensagem importante é tomarmos mais cuidado com estes espaços.

Passo 2

Vamos resolver a letra a) agora. Nela, temos que mostra que a transformação T a 1 , a 2 , … = 0 , a 1 , a 2 , … é injetora, mas não é sobrejetora.

Para mostrarmos que temos uma transformação injetora, basta vermos a condição necessária para que, dado v ∈ R ∞ , tenhamos T v = 0 , o qual deve ser o vetor nulo. Portanto,

T v =   T a 1 , a 2 , … = 0 , a 1 , a 2 , … = 0,0 , 0 , …

Para que isto ocorra, temos que ter a 1 = a 2 = a 3 = … = 0 . Então, todos os coeficientes de v (não importa a quantidade) devem ser iguais a zero. Em outras palavras, v é o vetor nulo. Então, temos que a transformação T deve ser injetora.

Já para provarmos que T não é injetora, vamos fazer o seguinte. Sejam v e w dois vetores quaisquer pertencentes a R ∞ dados por v = a 1 , a 2 , … e w = x 0 , x 1 , x 2 , … . Se assumirmos que x 0 ≠ 0 , será se existe algum v tal que: T v = w ?

A resposta é não! A primeira co0rdenada de T v sempre será igual a 0. Portanto, T v não representa todo o espaço R ∞ , e assim concluímos que não temos uma transformação sobrejetora.

Passo 3

Agora vamos resolver a letra b), a qual pede para verificarmos que F a 1 , a 2 , … = a 2 , a 3 , … é sobrejetora mas não é injetora. A ideia é semelhante ao que fizemos no Passo 2.

Para provarmos que F é sobrejetora, vamos fazer o seguinte. Sejam v e w dois vetores quaisquer pertencentes a R ∞ dados por v = a 1 , a 2 , … e F v = w = a 2 , a 3 , … .

Agora, vamos olhar apenas para o vetor w . Como as suas coordenadas a 2 , a 3 , … todas pertencem aos reais, podemos ver que o vetor w pode descrever qualquer vetor do R ∞ . Portanto, como a imagem de F corresponde ao contradomínio R ∞ , temos que F é sobrejetora.

Agora, vamos verificar que F não é injetora. Este caso é mais simples. Vejamos dois vetores u e v tais que u = x 1 , a 2 , … e v = a 1 , a 2 , … , sendo x 1 ≠ a 1 , e consequentemente, u ≠ v .

Se aplicarmos a transformação F a ambos os vetores, teremos:

F u = a 2 , a 3 , … = F v

Portanto, como dois vetores distintos levam a mesma transformação, temos que F não é injetora. Desta forma, concluímos a letra b).

Passo 4

A letra c) é um pouco diferente, temos que encontrar uma aplicação injetora de um polinômio (reais) para o R ∞

Podemos obter qualquer aplicação, desde que satisfaça a questão dela ser injetora.

Então, para que vamos ter trabalho? Vamos obter a aplicação mais simples possível. Ela será T : P R → R ∞ tal que:

T a 0 = a 0 , a 0 , a 0 , …

A única forma para que T a 0 seja igual a zero é que a 0 = 0 . Assim, o núcleo contém apenas o vetor nulo e temos uma transformação injetora.

Novamente, podemos criar qualquer transformação. O importante, é que a aplicação seja injetora (núcleo contém apenas o vetor nulo). Esse é o nosso único foco!

Resposta

Para as letras a) e b), as provas estão no Passo 2 e 3. Já para a letra c), podemos criar qualquer aplicação   T : P R → R ∞ , desde que ela seja injetora. Aqui foi escolhida a seguinte aplicação:

T a 0 = a 0 , a 0 , a 0 , …

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