Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 11
Considere uma transformação linear . Provar que, se o conjunto é LI em , então é LI em . Provar que, se é injetora e é LI em , então é LI em .
Passo 1
Vamos lá! A ideia desta questão é provar tanto a ida quanto a volta da seguinte relação: se é LI em , então é LI em .
Começaremos então seguindo a ordem da questão, a qual começa pela volta.
Se é LI em , podemos escrever a seguinte relação:
Então, o vetor representa o núcleo da operação .
Agora temos que dar uma viajada um pouco. Abstrair as ideias. Se é um conjunto LI, significa dizer que cada um dos coeficientes dessas transformações é igual a 0.
Então, vamos assumir por absurdo que é LD em , isto significa que, para
Então, pelo menos um dos coeficientes . Se aplicássemos a transformação linear, teremos:
Então, algum dos coeficientes é diferente de zero e o que implicaria em ser LD. Portanto, checamos por absurdo, que se é LI em , então é LI em .
Passo 2
Agora, vamos provar que, se é injetora e é LI em , então é LI em .
Se for uma transformação injetora, o seu núcleo será dado pelo vetor nulo. Portanto, seja , ocorrerá se e somente se .
Agora, vamos escrever o vetor como uma combinação linear da base . Ele será dado por:
Só que como é LI, temos que os coeficientes são iguais a zero. Pronto, estas são todas informações que extraímos do enunciado da questão.
Agora, vamos realizar a transformação ao vetor . Com isto, temos:
Só que como os coeficientes são iguais a zero, e para escrevermos o vetor nulo como combinação linear de , então, acabamos de provar que é LI em .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)