Considere uma transformação linear T : U → V . Provar que, se o conjunto T u 1 , … , T u r é LI em V , então u 1 , … , u r é LI em U . Provar que, se T é injetora e u 1 , … , u r é LI em U , então T u 1 , … , T u r é LI em V .

Passo 1

Vamos lá! A ideia desta questão é provar tanto a ida quanto a volta da seguinte relação: se u 1 , … , u r é LI em U , então T u 1 , … , T u r é LI em V .

Começaremos então seguindo a ordem da questão, a qual começa pela volta.

Se T u 1 , … , T u r é LI em V , podemos escrever a seguinte relação:

a 1 T u 1 + a 2 T u 2 + … + a r T u r = 0

T a 1 u 1 + T a 2 u 2 + … + T a r u r = 0

T a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a r u r = 0

Então, o vetor a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a r u r representa o núcleo da operação T .

Agora temos que dar uma viajada um pouco. Abstrair as ideias. Se T u 1 , … , T u r é um conjunto LI, significa dizer que cada um dos coeficientes dessas transformações é igual a 0.

Então, vamos assumir por absurdo que u 1 , … , u r é LD em U , isto significa que, para

a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a r u r = 0

Então, pelo menos um dos coeficientes a i ≠ 0 . Se aplicássemos a transformação linear, teremos:

T a 1 u 1 + a 2 u 2 + … + a r u r = 0

a 1 T u 1 + a 2 T u 2 + … + a r T u r = 0

Então, algum dos coeficientes a i é diferente de zero e o que implicaria em T u 1 , … , T u r ser LD. Portanto, checamos por absurdo, que se T u 1 , … , T u r é LI em V , então u 1 , … , u r é LI em U .

Passo 2

Agora, vamos provar que, se T é injetora e u 1 , … , u r é LI em U , então T u 1 , … , T u r é LI em V .

Se T for uma transformação injetora, o seu núcleo será dado pelo vetor nulo. Portanto, seja w ∈ U , T w = 0 ocorrerá se e somente se w = 0 .

Agora, vamos escrever o vetor w = 0 como uma combinação linear da base u 1 , … , u r . Ele será dado por:

0 = a 1 u 1 + … + a r u r

Só que como u 1 , … , u r é LI, temos que os coeficientes a 1 , … , a r são iguais a zero. Pronto, estas são todas informações que extraímos do enunciado da questão.

Agora, vamos realizar a transformação ao vetor w = 0 = a 1 u 1 + … + a r u r . Com isto, temos:

T a 1 u 1 + … + a r u r = T 0

T a 1 u 1 + T a 2 u 2 + … + T a r u r = 0

a 1 T u 1 + a 2 T u 2 + … + a r T u r = 0

Só que como os coeficientes a 1 , … , a r são iguais a zero, e para escrevermos o vetor nulo como combinação linear de T u 1 , … , T u r , então, acabamos de provar que T u 1 , … , T u r é LI em V .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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