Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 1a-c
Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do
núcleo e da imagem:
(a) dada por .
(b) dada por .
(c) definida por
(d) dada por
(e) dada por , onde
(f) dada por , onde
Passo 1
E aí? Bora matar mais essa?
(a) Para determinar a base para , para isso vamo igualar a zero:
Vamos isolar :
Vamos escrever
Escrevendo na forma de vetores da soma:
Temos que:
Temos que a dimensão de é:
Passo 2
Para determinar , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:
Passo 3
(b) Para determinar a base para , para isso vamo igualar a zero:
Vamos montar em forma de sistema:
Temos que:
Substituindo na segunda equação:
Temos que a base é:
Temos que a dimensão de é:
Passo 4
Para determinar , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:
Vamos usamos o vetor , e reescreve-lo como soma de outros vetores:
Vamos verificar se nossos vetores são
Vamos escrever na forma de sistema:
Como temos:
Vamos aplicar na segunda equação:
Então, temos a partir dos vetores e que a base:
Passo 5
(c) Para determinar a base para , para isso vamo igualar a zero:
Vamos montar em forma de sistema:
Temos que:
Agora vamos substituir na terceira equação :
Substituindo e na primeira equação, temos:
Temos que a base é:
Temos que a dimensão do núcleo é:
Passo 6
Para determinar , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:
Vamos usamos o vetor , e reescreve-lo como soma de outros vetores:
Vamos verificar se nossos vetores são
Vamos escrever na forma de sistema:
Como temos:
Vamos aplicar na terceira equação:
Aplicando e na segunda equação, temos:
Então, temos a partir dos vetores que a base:
Prontinho!!! Agora faltam apenas três, bora resolve-las?