Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 19
19. Use o fato enunciado no Exercício 18 e a parte (b) do Teorema 7.1.2 para mostrar que a composição de rotações pode ser sempre realizada por uma única rotação em torno de algum eixo apropriado.
Passo 1
O fato enunciado no exercício anterior é:
A multiplicação por uma matriz ortogonal de tamanho é uma rotação em torno de algum eixo se , e é uma rotação em torno de algum eixo seguida por uma reflexão num plano coordenado se .
E a parte (b) do teorema é:
Um produto de matrizes ortogonais é ortogonal.
Passo 2
É um pouco intuitivo, ne...
Se a gente vai fazer a primeira rotação, então vamos ficar com algo tipo:
Só vai ser rotação em torno de algum eixo se .
Mas se fizermos outra rotação...
Aqui a gente já tinha ... E só vai ser rotação se
E podemos fazer isso vááaárias vezes
Passo 3
Mas concorda que seria só fazer uma vez só multiplicando pela multiplicação de matrizes:
E podemos fazer isso porque se aplicarmos o determinantes:
E vale porque vai dar 1 do mesmo jeito. Como queríamos demonstrar.
Resposta
Demonstração