Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.6 - Ex. 4
Encontre o vetor de coordenadas de em relação à base de .
Passo 1
Esse é um exercício sobre mudança de base no espaço das matrizes . A base canônica é
Já a base é dada por
Note que os dois últimos vetores de são os dois últimos vetores da base canônica!
O vetor (que no fundo é uma matriz, mas lembre-se que as matrizes são vetores também) pode ser expresso como
Quando representamos um vetor do espaço das matrizes em coordenadas, ele é representado como um vetor de .
Passo 2
Queremos representar a matriz na base . Para isso, temos que achar a matriz . Mas antes disso, vamos escrever
Assim, podemos usar essa coordenadas para construir a matriz:
Para achar a matriz , basta inverter essa matriz. Note que tirando o bloco do canto esquerdo superior, essa matriz já é quase a identidade. Assim, nós só precisamos nos preocupar com o bloco:
Para inverter essa matriz, usamos a fórmula (que só vale para as matrizes ):
Assim,
Com isso, temos que
Passo 3
Assim,
Logo,
Portanto, podemos escrever