20. Duas pessoas, A e B, fazem a seguinte aposta. A joga uma moeda até que apareça cara. Se ela ocorrer na primeira jogada, B pagará 1 ficha; se não aparecer cara na primeira e sim na segunda jogada B pagará 2 fichas; se ocorrer cara pela primeira vez no terceiro lance, B pagará 4 fichas etc. Em geral, se os primeiros n lances forem coroas e o (n+1)-ésimo lance for cara, B pagará 2n fichas, onde n

Passo 1

Opaaa... uma questão de estatística e produto interno.

Dá medo, mas vamos lá...

A gente vai precisar separar todos os eventos...

Logo no início A dá 5 fichas para B, então isso acontece mesmo, então a probabilidade é 1:

p 0 = 1

X 0 = - 5

Aí vai vir as probabilidades:

- Se der coroa na primeira:

p 1 = 1 2

X 1 = 1

- Se der coroa na segunda:

p 2 = 1 4

X 2 = 2

-Se der coroa na terceria:

p 3 = 1 8

X 3 = 4

- Se der coroa na quarta:

p 4 = 1 16

X 4 = 6

- Se der coroa na quinta:

p 5 = 1 32

X 5 = 8

-Se não der coroa:

p 6 = 1 32

X 6 = 50

Passo 2

O nosso vetor probabilidade fica:

p = 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 32

E o vetor variável aleatória pra A:

X = - 5 , 1,2 , 4,6 , 8 , 50

Então, o valor médio, pra A

X - = 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 32 ⋅ - 5 , 1,2 , 4,6 , 8,50

X - = - 5 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 3 8 + 1 4 + 25 16

X - = - 1,3125

Repara que deu negativo, então A está em desvantagem.

Portante, B tem vatagem.

Passo 3

Para o jogo ser justo esse valor médio tem que dar zero, então:

p = 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 32

X = - x , 1,2 , 4,6 , 8,50

X - = 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 32 ⋅ - 5,1 , 2,4 , 6,8 , 50

0 = 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , 1 32 , 1 32 ⋅ - x , 1,2 , 4,6 , 8,50

0 = - x + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 3 8 + 1 4 + 25 16

x = 3,6875

A teria que dar 3,6875 fichas em vez de 5.

Resposta

B tem vantagem. 3,6875 fichas.

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