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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 2

Seja V = R 2 . Sejam v 1 = ( x 1 , y 1 ) e v 2 = x 2 , y 2 . Se f v 1 ,   v 2 = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 , mostre que f é um produto interno.

Passo 1

Pra demonstrar que se trata de um produto interno, devemos verificar as quatro propriedades:

  1. < v , v >   = 2 x 1 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 + x 1 2 ≥ 0

    A igualdade somente ocorre se x 1 = - x 2 = 0 .

  2. < α v 1 , v 2 ≥ 2 α x 1 x 2 + α x 1 y 2 + α x 2 y 1 + α y 1 y 2 = α 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = α < v 1 , v 2 >
  3. < v 1 + v 2 , v 3 >   = 2 x 1 + x 2 x 3 + x 1 + x 2 y 3 + x 3 y 1 + y 2 + y 1 + y 2 y 3 = < v 1 , v 3 > + < v 2 , v 3 >
  4. < v 1 , v 2 >   = 2 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + y 2 y 1 =   < v 2 , v 1 >

Resposta

Demonstração.

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Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, mostre que a expressão é um produto interno em R 2 verificando a validade dos axiomas de produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u
Suponha que u ,v e w sejam vetores tais que u , v = 2 , v , w = - 3 , u , w = 5 u = 1 , v = 2 , w = 7 Em cada parte, calcule a expressão. u + v , v + w 2 v - w , 3 u + 2 w u - v - 2 w , 4 u + v u + v
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno. u , v = 1 4 u + v 2 - 1 4 u - v 2
Suponha que P 3 tenha o produto interno de avaliação nos pontos amostrais x 0 = - 1 , x 1 = 0 , x 2 = 1 , x 3 = 2 Encontre p , q e p com p = x + x 3 e q = 1 + x 2 .
Sejam U = u 1 u 3u 2 u 4 e V = u 1 u 3u 2 u 4 . Mostre que U , V = u 1 v 1 + u 2 v 3 + u 3 v 2 + u 4 v 4 não define um produto interno em M 22 .