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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 8.9 - Ex. 7

Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno canônico) para o seguinte subespaço de R 3 :

V = { x , y , z ∈ R 3 ; x - y + z = 0 }

Passo 1

O primeiro passo é descobrir uma base de V . Podemos escrever os vetores de V da seguinte forma:

x , y , z = y - z , y , z = y 1,1 , 0 + z ( - 1,0 , 1 )

Do que a gente tem a base:

β = { 1,1 , 0 , ( - 1,0 , 1 ) }

Passo 2

Vamos fixar o primeiro vetor:

u 1 = 1,1 , 0

Sua norma:

u 1 = < u 1 , u 1 > = 2

Passo 3

Vamos usar o método de Gram-Schmidt:

u 2 = - 1,0 , 1 - < - 1,0 , 1 , 1,1 , 0 > 1,1 , 0 < 1,1 , 0 , 1,1 , 0 >

Ai a gente calcula os produtos internos:

< - 1,0 , 1 , 1,1 , 0 > = - 1

< 1,1 , 0 , 1,1 , 0 >   = 2

Do que resulta:

u 2 = - 1,0 , 1 + 1 2 1,1 , 0 = - 1 2 , 1 2 , 1

Sua norma:

u 2 = < u 2 , u 2 > = 1 4 + 1 4 + 1 = 3 2  

Resposta

β ' = 1 2 1,1 , 0 ; 6 3 - 1 2 , 1 2 , 1  

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