Enunciado

Seja β = { 1,1 , 0 , 1,0 , 1 , ( 0,2 , 0 ) } . Ache uma base ortonormal β ' de R 3 em relação ao produto interno usual.

Passo 1

Fala ai meu querido! Temos para essa questão 3 vetores, u 1 = 1 ,   1 ,   0 ,   u 2 = 1 ,   0 ,   1 ,   u 3 = ( 0 ,   2 ,   0 ) que fazem parte da nossa base β . Primeiro vamos definir que u 1 vai ficar fixo em relação a nossa base β . Então seguindo o exemplo 8.4.1 vamos definir:

u ' 1 = u 1 = ( 1,1 , 0 )

Passo 2

Para a gente achar o segundo vetor u ' 2 , basta que a gente olhar o método utilizado no exemplo 8.4.1, veja:

u ' 2 = u 2 - u 2 ,   u 1 ' u 1 ' ,   u 1 ' . u 1 '

u ' 2 = 1,0 , 1 - 1,0 , 1 , 1,1 , 0 1,1 , 0 , 1,1 , 0 1,1 , 0

Usando o produto escalar normal, vem:

1,0 , 1 , 1,1 , 0 = 1

1,1 , 0 , 1,1 , 0   = 1 + 1 = 2

Ou seja:

u ' 2 = 1,0 , 1 - 1 2 1,1 , 0 = ( 1 2 , - 1 2 , 1 )

Passo 3

Para a gente achar o u 3 , basta que a gente faça o mesmo:

u 3 ' = u 3 - u 3 ,   u 2 ' u 2 ' ,   u 2 ' . u 2 ' - u 2 ,   u 1 ' u 1 ' ,   u 1 ' . u 1 '

Dessa forma:

u ' 3 = 0,2 , 0 - ( 1 2 , - 1 2 , 1 ) , 0,2 , 0 ( 1 2 , - 1 2 , 1 ) , ( 1 2 , - 1 2 , 1 ) ( 1 2 , - 1 2 , 1 ) - 1,0 , 1 , 1,1 , 0 1,1 , 0 , 1,1 , 0 1,1 , 0

Resolvendo, a gente tem:

u ' 3 = - 2 3 , 2 3 , 2 3

Passo 4

Agora é só normalizar os vetores, para isso, basta dividir os vetores da base pelos seus módulos.

Resposta

β ' = 1 2 , 1 2 , 0 ; 1 6 , - 1 6 , 6 3 ; - 3 3 , 3 3 , 3 3

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