Mostre a desigualdade triangular. (Veja 8.3.2 - iv) (Sugestão: v + w 2 =   < v + w , v + w > ); desenvolva e use a desigualdade de Schwarz – 8.3.2 – iii).

Passo 1

Vamos lá! Para começar, vamos seguir a sugestão. Veja que:

< v + w , v + w >   =   < v , v + w > + < w , v + w >   =   < v + w , v > + < v + w , w >  

=   < v , v > + < w , v > + < v , w > + < w , w >

=   < v , v > + 2 < v , w > + < w , w >

Mas < v , v >   = v 2 e < w , w >   = w 2 . Então,

v + w 2 = v 2 + w 2 + 2 < v , w >

Beleza?!

Passo 2

Agora vamos usar a desigualdade de Schwarz:

< v , w >   ≤ v w ⇒ 2 < v , w >   ≤ 2 v w

Ou seja:

v + w 2 - v 2 - w 2 ≤ 2 v w ⇒ v + w 2 ≤ v + w 2

Que resulta em:

v + w ≤ v + w

Que é a desigualdade triangular. Show de bola?!

Resposta

Demonstração.

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