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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 20

20 Sejam u, v e w os vetores do exercício 18. Encontre os componentes do vetor x que satisfazem a equação 3u+v-2w=3x+2w.

Passo 1

Nós podemos resolver isso da mesma maneira que resolvemos equações, isolando o vetor x :

3 u + v - 2 w = 3 x + 2 w

Podemos subtrair 2 w dos dois lados da equação:

3 u + v - 2 w - 2 w = 3 x + 2 w - 2 w

3 u + v - 4 w = 3 x

Reescrevendo a equação:

3 x = 3 u + v - 4 w

Por fim vamos multiplicar os dois lados da equação por 1 3 :

1 3 ⋅ 3 x = 1 3 ⋅ 3 u + v - 4 w

x = u + 1 3 v - 4 3 w

Pronto, agora ficou bem mais fácil achar o valor de x

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante. Como esse vetor tem mais que três coordenadas vamos chama-las de x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 .

Além disso, quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

1 3 v = 1 3 ⋅ 4 ,   0 ,   - 8 ,   1 ,   2

Multiplicando cada termo do vetor:

1 3 v = 1 3 ⋅ 4 ,   1 3 ⋅ 0 ,   1 3 ⋅ - 8 ,   1 3 ⋅ 1 ,   1 3 ⋅ 2

1 3 v = 4 3 ,   0 ,   - 8 3 ,   1 3 ,   2 3

Também temos:

4 3 w = 4 3 ⋅ 7 ,   1 ,   - 4 ,   3 ,   - 5

Multiplicando cada termo do vetor:

4 3 w = 4 3 ⋅ 7 ,   4 3 ⋅ 1 ,   4 3 ⋅ - 4 ,   4 3 ⋅ 3 ,   4 3 ⋅ - 5

4 3 w = 28 3 ,   4 3 ,   - 16 3 ,   4 ,   - 20 3

Passo 3

Realizando a soma:

u + 1 3 v - 4 3 w = 1 ,   2 ,   - 3 ,   5 ,   0 + 4 3 ,   0 ,   - 8 3 ,   1 3 ,   2 3 - 28 3 ,   4 3 ,   - 16 3 ,   4 ,   - 20 3

Devemos somar cada termo com o correspondente do outro vetor:

u + 1 3 v - 4 3 w = 1 + 4 3 - 28 3 ,   2 + 0 - 4 3 ,   - 3 - 8 3 + 16 3 ,   5 + 1 3 - 4 ,   0 + 2 3 + 20 3

Fazendo a soma dessas frações, nós temos que:

u + 1 3 v - 4 3 w = - 7 , 2 3 ,   - 1 3 ,   4 3 ,   2 2 3

Ou seja,

x = - 7 , 2 3 ,   - 1 3 ,   4 3 ,   22 3

Resposta

x = - 7 , 2 3 ,   - 1 3 ,   4 3 ,   22 3

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