Enunciado

24 Sejam u= 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1 e v = - 2 ,   3   1 ,   0 ,   2 . Encontre escalares a e b tais que au+bv= - 8 ,   8 ,   3 ,   - 1 ,   7 .

Passo 1

Vamos montar essa equação:

a u + b v = - 8 ,   8 ,   3 ,   - 1 ,   7

Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

a u = a ⋅ 2 ,   1 ,   0 ,   1 ,   - 1

Multiplicando cada termo:

a u = 2 a ,   a ,   0 ,   a ,   - a

Além desse vetor, também temos:

b v = b ⋅ - 2 ,   3 ,   1 ,   0 ,   2

Multiplicando cada termo:

b v = - 2 b ,   3 b ,   b ,   0 ,   2 b

Substituindo tudo na equação dada:

2 a ,   a ,   0 ,   a ,   - a + - 2 b ,   3 b ,   b ,   0 ,   2 b = - 8 ,   8 ,   3 ,   - 1 ,   7

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos temos:

2 a - 2 b ,   a + 3 b ,   b ,   a ,   - a + 2 b = - 8 ,   8 ,   3 ,   - 1 ,   7

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

2 a - 2 b = - 8 a + 3 b = 8 b = 3 a = - 1 - a + 2 b = 7

A terceira e quarta equação já nos dão o valor de a e b :

a = - 1

e

b = 3

Passo 3

Agora vamos substituir nas outras três equações para ter certeza que eles valem para todas as componentes.

1ª equação:

2 a - 2 b = - 8

Dividindo por 2 dois dois lados:

a - b = - 4

Subtituindo os valores de a e b :

- 1 - 3 = - 4

- 4 = - 4

Para a primeira equação os valores batem.

2ª equação:

a - 3 b = 8

Substituindo os valores de a e b :

- 1 + 3 3 = 8

- 1 + 9 = - 8

- 8 = - 8

Para a segunda equação os valores também valem.

5ª equação:

- a + 2 b = 7

Substituindo os valores de a e b :

- - 1 + 2 3 = 7

1 + 6 = 7

7 = 7

E conferimos que vale também para a ultima equação, ou seja os valores valem para todas as equação. Com isso concluímos que os valores realmente são:

a = - 1

e

b = 3

Resposta

a = - 1

e

b = 3

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