Enunciado

21 Sejam u, v e w os vetores do exercício 19. Encontre os componentes do vetor x que satisfazem a equação 2u-v-x=7x+w.

Passo 1

Nós podemos resolver isso da mesma maneira que resolvemos equações, isolando o vetor x :

2 u - v - x = 7 x + w

Podemos subtrair w dos dois lados da equação:

2 u - v - x - w = 7 x + w - w

2 u - v - x - w = 7 x

E podemos somar x dos dois lados da equação:

2 u - v - x - w + x = 7 x + x

2 u - v - w = 8 x

Reescrevendo a equação:

8 x = 2 u - v - w

Por fim vamos multiplicar os dois lados da equação por 1 8 :

1 8 ⋅ 8 x = 1 8 ⋅ 2 u - v - w

x = 1 8 ⋅ 2 u - v - w

Pronto, agora ficou bem mais fácil achar o valor de x

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante. Como esse vetor tem mais que três coordenadas vamos chama-las de x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 .

Além disso, quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

2 u = 2 ⋅ - 3 ,   1 ,   2 ,   4 ,   4

Multiplicando cada termo do vetor:

2 u = 2 ⋅ - 3 ,   2 ⋅ 1 ,   2 ⋅ 2 ,   2 ⋅ 4 ,   2 ⋅ 4

2 u = - 6 ,   2 ,   4 ,   8 ,   8

Passo 3

Realizando a subtração:

2 u - v - w = - 6 ,   2 ,   4 ,   8 ,   8 - 4 ,   0 ,   - 8 ,   1 ,   2 - 6 ,   - 1 ,   - 4 ,   3 ,   - 5

Devemos juntar cada termo com o correspondente do outro vetor:

2 u - v - w = - 6 - 4 - 6 ,   2 - 0 + 1 ,   4 + 8 + 4 ,   8 - 1 - 3 ,   8 - 2 + 5

2 u - v - w = - 16 ,   3 ,   16 ,   4 ,   11

Passo 4

E por fim, multiplicando tudo isso por 1 8 :

1 8 ⋅ 2 u - v - w = 1 8 ⋅ - 16 ,   3 ,   16 ,   4 ,   11

Multiplicando cada termo desse vetor:

1 8 ⋅ 2 u - v - w = 1 8 ⋅ - 16 ,   1 8 ⋅ 3 ,   1 8 ⋅ 16 ,   1 8 ⋅ 4 ,   1 8 ⋅ 11

1 8 ⋅ 2 u - v - w = - 2 ,   3 8 ,   2 ,   1 2 ,   1 1 8

Ou seja,

x = - 2 ,   3 8 ,   2 ,   1 2 ,   11 8

Resposta

x = - 2 ,   3 8 ,   2 ,   1 2 ,   11 8

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