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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 23

23. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 , u → 3 , u → 4 numa base ortonormal.

  u → 1 = 0,2 , 1,0 , u → 2 = 1 , - 1,0 , 0 , u → 3 = 1,2 , 0 , - 1 , u → 4 = 1,0 , 0,1

Passo 1

O primeiro passo do processo:

v 1 = u 1

v 1 = 0,2 , 1,0

Passo 2

Agora o passo com u 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = 1 0 + - 1 2 + 0 1 + 0 0

u 2 ⋅ v 1 = - 2

Calculando a norma de v 1

v 1 = 0 2 + 2 2 + 1 2 + 0 2

v 1 = 5

Então:

v 2 = u 2 + 2 5 v 1

Substituindo os vetores:

v 2 = 1 , - 1,0 , 0 + 2 5 0,2 , 1,0

v 2 = 1 , - 1,0 , 0 + 0 , 4 5   , 2 5 , 0

v 2 = 1 , - 1 5 , 2 5 , 0

Passo 3

Agora o passo com u 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = 1 0 + 2 2 + 0 1 + - 1 0

u 3 ⋅ v 1 = 4

u 3 ⋅ v 2 = 1 1 + 2 - 1 5 + 0 2 5 + - 1 0

u 3 ⋅ v 2 = 3 5

Calculando a norma de v 2 :

v 2 = 1 2 + - 1 5 2 + 2 5 2 + 0 2

v 2 = 30 5

Então:

v 3 = u 3 - 4 5 2 v 1 - 3 5 30 5 2 v 2

v 3 = u 3 - 4 5 v 1 - 1 2 v 2

Substituindo os vetores:

v 3 = 1,2 , 0 , - 1 - 4 5 0,2 , 1,0 - 1 2 1 , - 1 5 , 2 5 , 0

v 3 = 1,2 , 0 , - 1 - 0 , 8 5   , 4 5 , 0 - 1 2 , - 1 10 , 1 5 , 0

v 3 = 1 2 , 1 2 , - 1 , - 1

Passo 4

Agora o passo com u 4 :

v 4 = u 4 - u 4 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 4 ⋅ v 2 v 2 2 v 2 - u 4 ⋅ v 3 v 3 2 v 3

Fazendo os produtos internos:

u 4 ⋅ v 1 = 1 0 + 0 2 + 0 1 + 1 0  

u 4 ⋅ v 1 = 0

u 4 ⋅ v 2 = 1 1 + 0 - 1 5 + 0 2 5 + 1 0

u 4 ⋅ v 2 = 1

u 4 ⋅ v 3 = 1 1 2 + 0 ( 1 2 ) + 0 - 1 + 1 - 1

u 4 ⋅ v 3 = - 1 2

Calculando a norma de v 3 :

v 3 = 1 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 + - 1 2

v 3 = 10 2

Então:

v 4 = u 4 - 0 5 v 1 - 1 30 5 2 v 2 - - 1 2 10 2 2 v 3

v 4 = u 4 - 5 6 v 2 + 1 5 v 3

Substituindo os vetores:

v 4 = 1,0 , 0,1 - 5 6 1 , - 1 5 , 2 5 , 0 + 1 5 1 2 , 1 2 , - 1 , - 1

v 4 = 1,0 , 0,1 - 5 6 , - 1 6 , 2 6 , 0 + 1 5 1 10 , 1 10 , - 1 5 , - 1 5

v 4 = 4 15 , 4 15 , - 8 15 , 4 5

Passo 5

Agora vamos fazer ser ortonormal:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 0 , 2 5 , 1 5 , 0

q 2 = v 2 v 2

q 2 = 1 30 5 , - 1 5 30 5 , 2 5 30 5 , 0

q 2 = 5 30 , - 1 30 , 2 30 , 0

q 3 = v 3 v 3

q 3 = 1 2 10 2 , 1 2 10 2 , - 1 10 2 , - 1 10 2

q 3 = 1 10 , 1 10 , - 2 10 , - 2 10

q 4 = v 4 v 4

Calculando a norma de v 4 :

v 4 = 4 15 2 + 4 15 2 + - 8 15 2 + 4 5 2

v 4 = 4 15

Então:

q 4 = 4 15 4 15 , 4 15 4 15 , - 8 15 4 15 , 4 5 4 15

q 4 = 15 15 , 15 15 , - 2 15 15 , 15 5

Resposta

q 1 = 0 , 2 5 , 1 5 , 0

q 2 = 5 30 , - 1 30 , 2 30 , 0

q 3 = 1 10 , 1 10 , - 2 10 , - 2 10

q 4 = 15 15 , 15 15 , - 2 15 15 , 15 5

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