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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 27

27. Repita o Exércício 26 com vec u_1 = ( 1,1 , 1 ) e vec u_2 = (2,0 , - 1) .

Passo 1

Com vec w = (1,2 , 3) .

Vamos usar o processo de Gram-Schmidt para achar dois vetores ortogonais, um em W e outro em W^(_|_) .

Primeiro para v_1 :

v_1 = u_1

v_1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 2

Agora para v_2 :

v_2 = u_2 - ((u_2 * v_1))/(‖v_1‖^2) v_1

Fazendo o produto interno:

u_2 * v_1 = (2) (1) + (0) (1) + ( - 1 ) ( 1 )

u_2 * v_1 = 1

Calculando a norma de v_1 :

‖v_1‖ = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2)

‖v_1‖ = sqrt(3)

Então:

v_2 = u_2 - ((1))/((sqrt(3))^2) v_1

v_2 = u_2 - (1)/(3) v_1

Substituindo os vetores:

v_2 = (2,0 , - 1) - (1)/(3) ( 1,1 , 1 )

v_2 = ((5)/(3) , - (1)/(3) , - (4)/(3))

Passo 3

Agora fazemos as projeções:

w_1 = p r o j_W w

w_1 = ((w * v_1))/(‖v_1‖^2) v_1 + ((w * v_2))/(‖v_2‖^2) v_2

Fazendo os produtos internos:

w * v_1 = (1) (1) + (2) (1) + (3) (1)

w * v_1 = 6

w * v_2 = (1) ((5)/(3)) + (2) (- (1)/(3)) + (3) (- (4)/(3))

w * v_2 = - 3

Calculando a norma de v_2 :

‖v_2‖ = sqrt(((5)/(3))^2 + (- (1)/(3))^2 + (- (4)/(3))^2)

‖v_2‖ = (sqrt(42))/(3)

Então:

w_1 = ((6))/((sqrt(3))^2) v_1 + ((- 3))/(((sqrt(42))/(3))^2) v_2

w_1 = 2 v_1 - (9)/(14) v_2

Substituindo os vetores:

w_1 = 2 ( 1,1 , 1 ) - (9)/(14) ((5)/(3) , - (1)/(3) , - (4)/(3))

w_1 = ((1 3)/(14) , (3 1)/(14) , (20)/(7))

Passo 4

E para w_2 :

w_2 = p r o j_W^(_|_) w

w_2 = w - p r o j_W w

w_2 = w - w_1

w_2 = (1,2 , 3) - ((13)/(14) , (31)/(14) , (20)/(7))

w_2 = ((1)/(14) , - (3)/(14) , (1)/(7))

Resposta

w_1 = ((13)/(14) , (31)/(14) , (20)/(7))

w_2 = ((1)/(14) , - (3)/(14) , (1)/(7))

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