27. Use métodos vetoriais para provar que sempre é retângulo qualquer triângulo inscrito num círculo de tal modo que um de seus lados seja um diâmetro. [Sugestão: expresse os vetores A B → e B C → da figura dada em termos de u → e   v → . ]

Passo 1

Bem... vamos usar a sugestão, ne...

Então pelo que sabemos da soma de vetores (usando o maravilhoooooso desenho que fiz dá pra ver melhor

Usando o paralelogramo da parte em preto:

v → = u → + B C →

B C → = v → - u →

Usando agora o vermelho:

u → = - v → + A B →

A B → = u → + v →

Passo 2

Pra ser um triângulo retângulo, o ângulo entre os dois vetores tem que ser 90°,ne...

Ou seja, o produto interno entre os dois vetores tem que ser zero:

A B → ⋅ B C → = 0

u → + v → ⋅ v → - u → = 0

u → ⋅ v → - u → ⋅ u → + v → ⋅ v → - v → ⋅ u → = 0

Como u → ⋅ v → = v → ⋅ u → , então:

v → ⋅ v → - u → ⋅ u → = 0

Lembrando que v → ⋅ v → é a norma de v → , ou seja, o tamanho do vetor...

v → - u → = 0

Como eles têm o mesmo tamanho (que é o raio), então:

0 = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração.

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