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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 19

Seja w um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V gerado pelos vetores V 1 , … , V k . Mostre que V ∈ w ⊥ se, e somente se, V é ortogonal a V i , para i = 1 , … , k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos Seja w um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V gerado pelos vetores V 1 , … , V k . Mostre que V ∈ w ⊥ se, e somente se, V é ortogonal a V i , para i = 1 , … , k .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que w é um subespaço de um espaço vetorial com produto interno V , temos que para vetores,

V 1 , … ,   V k

Para mostrar que V ∈ w ⊥ , com i = 1 , … , k , temos

w n = [ 1 , cos ⁡ π t , … , cos ⁡ n π t ]     e     V n = [ sin ⁡ π t ,   … , sin ⁡ n π t ]

Que podemos definir o produto interno como,

< f , g >   = ∫ 0 1 f t g t d t  

A partir dessas definições temos que para pensar aqui. Essas definições nos levam a entender que essa questão ela e mais para saber se o termo se apropria ao conjunto do produto interno.

Se a gente for olhar usando,

V n = [ sin ⁡ π t ,   … , sin ⁡ n π t ]

Podemos dizer que,

V ∈   < f , g >

Definindo como resultado geral,

V = C 0 [ 1,0 ] , pertencente a todo o conjunto do produto interno.

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

V = C 0 [ 1,0 ] , pertencente a todo o conjunto do produto interno.

Exercícios de Livros Relacionados

18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.
17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V , então u - v = 2 .
16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R n gerado pelos vetores dados.(a) v 1 = ( 1 , - 1,3 ) , v 2 = ( 5 , - 4 , - 4 ) , v 3 = 7 , - 6,2 (b) v 1 = ( 2,0 , - 1 )
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