Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 30
30. (Requer Cálculo) Suponha que tenho o produto interno
E seja Mostre que se , então e são vetores ortogonais.
Passo 1
Bem... vamos chamar:
Fazendo o produto interno:
E para serem ortogonais temos que mostrar que esse produto interno é igual a zero.
Passo 2
Pra resolver essa integral vamos ter que usar integração por partes...
Se a gente chamar:
Então:
Substituindo:
Vamos resolver a parte já pronta pra liberar espaço rs:
Então fica:
Passo 3
Apareceu outra intgral... affff... mas, um segredo aqui pra você levar pra calculo
Resolvendo a integral que apareceu por partes também:
Chamando:
Então:
Substituindo na formula:
Resolvendo a parte pronta:
Então fica:
Passo 4
Agora substituindo em :
Vamos passar tudo pra um lado só:
Como ,
Como queríamos demonstrar.
Resposta
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16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R n gerado pelos vetores dados.(a) v 1 = ( 1 , - 1,3 ) , v 2 = ( 5 , - 4 , - 4 ) , v 3 = 7 , - 6,2 (b) v 1 = ( 2,0 , - 1 )
21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + …
22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,v → 2 , … ,v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v
28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em r