30. (Requer Cálculo) Suponha que C [ 0 , π ] tenho o produto interno

f , g = ∫ 0 π f x g x   d x

E seja f n = cos ⁡ n x   n = 0,1 , 2 , … . Mostre que se k ≠ l , então f k e f l são vetores ortogonais.

Passo 1

Bem... vamos chamar:

f k = cos ⁡ ( k x )  

f l = cos ⁡ l x

Fazendo o produto interno:

f k , f l = ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

E para serem ortogonais temos que mostrar que esse produto interno é igual a zero.

Passo 2

Pra resolver essa integral vamos ter que usar integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Se a gente chamar:

u = cos ⁡ k x

d v = cos ⁡ l x

Então:

d u = - k   s e n k x

v = s e n l x l

Substituindo:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π - ∫ 0 π s e n   l x l - k   s e n   k x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π + ∫ 0 π k l s e n k x   s e n l x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π + k l ∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x

Vamos resolver a parte já pronta pra liberar espaço rs:

cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π = cos ⁡ k π s e n l π l - cos ⁡ k 0 s e n l 0 l = 0

Então fica:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l ∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x                       *

Passo 3

Apareceu outra intgral... affff... mas, um segredo aqui pra você levar pra calculo

Resolvendo a integral que apareceu por partes também:

Chamando:

u = s e n k x

d v = s e n l x

Então:

d u = k cos ⁡ k x

v = - cos ⁡ l x l

Substituindo na formula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = - s e n k x cos ⁡ l x l 0 π - ∫ 0 π - cos ⁡ l x l k cos ⁡ k x d x  

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = - s e n k x cos ⁡ l x l 0 π + k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x  

Resolvendo a parte pronta:

- s e n k x cos ⁡ l x l 0 π = - s e n k π cos ⁡ l π l - - s e n k 0 cos ⁡ l 0 l = 0

Então fica:

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x                       * *

Passo 4

Agora substituindo * * em * :

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

Vamos passar tudo pra um lado só:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x - k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

1 - k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0 1 - k l 2

Como k ≠ l ,

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

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