Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.7 - Ex. 30
30. Verifique o Teorema 1.7.1 (d) para as matrizes A e B de Exercicio 29
Passo 1
O teorema 1.7.1 (d) diz que: “A inversa de uma matriz triangular inferior invertível é triangular inferior, e a inversa de uma matriz triangular superior invertível é triangular superior”. Vamos inverter essas duas matrizes para verificar:
Vamos usar as operações com linhas para encontrar a inversa delas, assim como foi feito no Exemplo 4 da Seção 1.5.
Vamos escrever a Matriz do lado da Matriz Identidade
e ir fazendo alterações nas linhas delas até que a matriz se torne uma matriz identidade, quando isso ocorrer, onde antes a gente tinha a matriz identidade, agora teremos a matriz inversa de :
Passo 2
Para a Matriz :
Multiplicando a primeira linha por :
Dividindo a ultima linha por :
Somando vezes a linha 3 na linha 2:
Somando vezes a linha na linha :
Somando vezes a linha 2 na linha 1:
Como podemos observar essa é uma matriz triangular superior, como deveria ser.
Passo 3
Para a Matriz :
Dividindo a primeira e a segunda linha por :
Dividindo a ultima linha por :
Somando vez a linha 3 na linha 2:
Somando vezes a linha 2 na linha 1:
Como podemos observar essa é uma matriz triangular superior, como deveria ser.
Resposta
São matrizes triangulares superiores, o que esta de acordo com o Teorema 1.7.1 (d).