Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 32
Se for uma matriz quadrada e um inteiro positivo, será verdade que ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Para provarmos essa igualdade temos que fazer duas coisas, primeiro temos que mostrar que o tamanho de é o mesmo que o de e depois temos que mostrar que os elementos um a uma, são os mesmos nas duas matrizes.
Passo 2
Como nossa matriz é quadrada, digamos, , então nossa matriz também vai ser . Nossa potência de pode ser entendida como um produto da matriz com ela mesma vezes então o tamanho final da nossa matriz vai ser
Nossa matriz final vai ser então de ordem . Como tem a mesma ordem de , (), o tamanho final dela será o mesmo.
Passo 3
Agora para provar que os elementos são os mesmos, vamos precisar entender um pouco mais como funciona o produto . Vejamos, seja
Diminuindo um pouco esse produto
Ou seja, analisando mais de perto nosso produto a gente pode ver que ele depende única e exclusivamente do produto entre a linha e a coluna da matriz em questão, o elemento de vai ser resultado da multiplicação da i-ésima linha de pela j-ésima coluna de suscetivas vezes.
Passo 4
Agora pra nossa matriz
Diminuindo esse produto
De novo a gente pode perceber que o produto , quando nossa matriz é transposta, vai depender também única e exclusivamente da multiplicação linha por coluna.
Agora vamos analisar e
Agora se eu transpor
Que é exatamente igual a
Como nosso produto é os mesmo independente da ordem da matriz, isto é, seja ela , o produto vai continuar funcionando da mesma maneira. Logo nossa proposição vale para matrizes de qualquer ordem desde que sejam quadradas. E como nossa potência de “” também pode ser entendida como um produto e novamente o produto está definido pra qualquer ordem de matrizes, nossa proposição também vale pra qualquer potência
Resposta
Demonstração