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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 34

34. Encontre vetores x e y em R 2 que sejam ortonormais em relação ao produto interno u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 mas não em relação ao produto interno euclidiano.

Passo 1

Vamos pegar vetores genéricos no R 2 :

x = x 1 , x 2

y = y 1 , y 2

E pra eles serem ortonormais, esse produto interno tem que ser zero E a norma de cada vetor tem que ser igual a 1.

Passo 2

Fazendo o produto interno:

x , y = 3 x 1 y 1 + 2 x 2 y 2

E como tem que ser igual a zero:

0 = 3 x 1 y 1 + 2 x 2 y 2

3 x 1 y 1 = - 2 x 2 y 2

x 1 = - 2 x 2 y 2 y 1

E calculando as normas:

x = 3 x 1 2 + 2 x 2 2

y = 3 y 1 2 + 2 y 2 2

E como as normas têm que ser um:

1 = 3 x 1 2 + 2 x 2 2

1 = 3 y 1 2 + 2 y 2 2

Outra condição é que não seja em relação ao produto interno euclidiano. Então:

0 ≠ x 1 x 2 + y 1 y 2

Passo 3

Podemos multiplicar uma norma pela outra:

1 1 = 3 x 1 2 + 2 x 2 2 3 y 1 2 + 2 y 2 2

1 = 3 x 1 2 + 2 x 2 2 3 y 1 2 + 2 y 2 2

E elevando os dois lados ao quadrado:

1 = 3 x 1 2 + 2 x 2 2 3 y 1 2 + 2 y 2 2

1 = 9 x 1 2 y 1 2 + 6 x 1 2 y 2 2 + 6 x 2 2 y 1 2 + 4 x 2 2 y 2 2           i

E agora se a gente elevar a equação lá do produto interno ao quadrado:

0 2 = 3 x 1 y 1 + 2 x 2 y 2 2

0 = 9 x 1 2 y 1 2 + 12 x 1 y 1 x 2 y 2 + 4 x 2 2 y 2 2

Se a gente isolar:

9 x 1 2 y 1 2 + 4 x 2 2 y 2 2 = - 12 x 1 y 1 x 2 y 2   i i

Substituindo i i em i :

1 = 6 x 1 2 y 2 2 - 12 x 1 y 1 x 2 y 2 + 6 x 2 2 y 1 2

1 = 6 x 1 2 y 2 2 - 2 x 1 y 1 x 2 y 2 + x 2 2 y 1 2

1 = 6 x 1 y 2 - x 2 y 1 2

x 1 y 2 - x 2 y 1 2 = 1 6

Substituindo o x 1 :

- 2 x 2 y 2 y 1 y 2 - x 2 y 1 2 = 1 6

- 2 x 2 y 2 2 y 1 - x 2 y 1 2 = 1 6

- x 2 2 y 2 2 y 1 + y 1 2 = 1 6

Resposta

u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2

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