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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 24

24. Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Encontre uma base ortonormal do subespaço gerado por 0,1 , 2 ,   - 1,0 , 1 , ( - 1,1 , 3 ) .

Passo 1

Usando o processo de Gram-schsdfsdhdf:

v 1 = u 1

v 1 = 0,1 , 2

Passo 2

Agora o passo de v 2 :

v 2 = u 2 - u 2 ⋅ v 1 v 1 2 v 1

Fazendo o produto interno:

u 2 ⋅ v 1 = - 1 0 + 0 1 + 1 2

u 2 ⋅ v 1 = 2

Calculando a norma de v 1 :

v 1 = 0 2 + 1 2 + 2 2

v 1 = 5

Então:

v 2 = u 2 - 2 5 2 v 1

v 2 = u 2 - 2 5 v 1

Substituindo os vetores:

v 2 = - 1,0 , 1 - 2 5 0,1 , 2

v 2 = - 1 , - 2 5 , 1 5

Passo 3

Agora o passo de v 3 :

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Fazendo os produtos internos:

u 3 ⋅ v 1 = - 1 0 + 1 1 + 3 2

u 3 ⋅ v 1 = 7

u 3 ⋅ v 2 = - 1 - 1 + 1 - 2 5 + 3 1 5

u 3 ⋅ v 2 = 6 5

Calculando a norma de v 2 :

v 2 = - 1 2 + - 2 5 2 + 1 5 2

v 2 = 30 5

Então:

v 3 = u 3 - 7 5 2 v 1 - 6 5 30 5 2 v 2

v 3 = u 3 - 7 5 v 1 - v 2

Substituindo os vetores:

v 3 = ( - 1,1 , 3 ) - 7 5 0,1 , 2 - - 1 , - 2 5 , 1 5

v 3 = 0,0 , 0

Passo 4

Pra ser ortonormal:

q 1 = v 1 v 1

q 1 = 0 , 1 5   , 2 5

q 2 = v 2 v 2

q 2 = - 1 30 5 , - 2 5 30 5 , 1 5 30 5

q 2 = - 5 30 , - 2 30 , 1 30

q 3 = v 3 v 3

q 3 = 0,0 , 0

Resposta

q 1 = 0 , 1 5   , 2 5

q 2 = - 5 30 , - 2 30 , 1 30

q 3 = 0,0 , 0

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23. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 , u → 3 , u → 4 numa base ortonormal.u → 1 = 0,2 , 1,0 , u →
30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.
31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a