Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 11

Seja A uma matriz n × n de posto 1 . Mostre que

(a) A 2 = ( t r ( A ) ) A .

(b) A n = ( t r ( A ) ) n - 1 A , n = 2,3 ,   . . . .

(Sugestão: use o exercício anterior)

Passo 1

Fala, pessoal! Prontos para arrasar em mais uma questão? Então, vamos lá!

Na questão anterior, vimos que uma matriz de posto 1 pode ser escrita como A = X Y t :

⎜   x 1 y 1                 x 1 y 2           ⋯               x 1 y n ⎜

⎜ x 2 y 1                 x 2 y 2             ⋯               x 2 y n ⎜

⎜ ⋯                     ⋯             ⋯                 ⋯     ⎜

⎜ x m y 1                 x m y 2         ⋯             x m y n ⎜

Passo 2

(a)Multiplicando essa matriz por ela mesma, conseguimos o seguinte:

A 2 =

⎜   x 1 y 1 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n                       x 1 y 2 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n             ⋯               x 1 y n x 1 y 1 + ⋯ + x n y n ⎜

⎜ x 2 y 1 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n                       x 2 y 2 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n               ⋯             x 2 y n x 1 y 1 + ⋯ + x n y n   ⎜

⎜                                             ⋯                                                                                             ⋯                                           ⋯                                                         ⋯                                 ⎜

⎜ x m y 1 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n                     x m y 2 x 1 y 1 + ⋯ + x n y n               ⋯             x m y n x 1 y 1 + ⋯ + x n y n ⎜

Mas, pera aí! x 1 y 1 + ⋯ + x n y n   = t r   ( A ) . Então a matriz que a gente calculou é justamente ( t r ( A ) ) A . Dai, A 2 = ( t r ( A ) ) A . Sucesso!

Passo 3

(b)provar que A n = ( t r ( A ) ) n - 1 A , vamos usar a indução matemática. Nós já mostramos a validade para n = 2 e supor que vale para n - 1 . Aí, vamos mostrar que deve valer para n . Então, assumindo que A n - 1 = ( t r ( A ) ) n - 2 A , vamos multiplicar essa relação por A e ver o que a gente consegue

A n - 1 = ( t r ( A ) ) n - 2 A ⇒ A n = ( t r ( A ) ) n - 2 A A = ( t r ( A ) ) n - 2 A 2

Mas a gente já sabe que A 2 = t r ( A ) A . Assim,

A n = ( t r ( A ) ) n - 2 t r ( A ) A = ( t r ( A ) ) n - 1 A

Maravilha, mostramos o que a questão pedia.

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam { v 1 → , … ,v n → } uma base de um espaço vetorial V e T : V → V um operador linear. Mostre que se T v 1 → = v 1 → ,… ,T v n → = v n → Então T é um operador identidade de V
Sejam V = C [ a , b ] o espaço vetorial das funções contínuas em [ a , b ] e T : V → V a transformação definida por T f = 5 f x + 3 ∫ a x f t d t Será T um operador linear?
Dado um número inteiro positivo n1 qualquer, seja T :M n n → R a transformação linear definida por T A = t r A , em que A é uma matriz de entradas reais. Determine a dimensão de N u c ( T ) .
33. Mostre que os autovalores de uma matriz unitária têm módulo 1.
30. Mostre que se A for uma matriz n × n com entradas complexas e u e v forem vetores em C n dados em forma de coluna, então A u ⋅ v = u ⋅ A * v;u ⋅ A v = A * u ⋅ v