Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 6
Dê exemplos de transformações lineares tais que
(a) ,
(b) .
Passo 1
Fala, galera! O jogo agora virou porque temos o núcleo e a imagem da transformação e precisamos dar exemplos da transformação.
Como o núcleo é , então todos os vetores do tipo resultam em
Os vetores do núcleo, , podem ser gerados por uma base de vetores . Então, para que , precisamos ter
Ou seja, temos que ter e . Para terminar de definir a transformação, precisamos saber como ela atua nos vetores de base. Já temos , então faltam e e essa parte é totalmente livre, você pode escolher como quiser. Vamos escolher e . Assim, a transformação fica bem definida.
Passo 2
(b) Agora nós temos a imagem dada por , então precisamos de vetores do tipo , que podem ser gerados pela base . Nesse caso, precisamos que a transformação leve dos vetores da base canônica , ou seja,
Além disso, podemos escolher .
Resposta
Veja a resolução acima.