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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 10

Mostre que se A é uma matriz, m × n , de posto igual a 1 , então existem matrizes X = [ x 1   . . .   x n ] t e Y = [ y 1   . . .   y n ] t , m × 1 e n × 1 , respectivamente, tais que A = X Y t . (Sugestão: Tome X tal que { X } é uma base para o espaço da coluna de A .)

Passo 1

Fala, pessoal! Essa questão é mais ou menos a inversa da questão anterior, então dá uma olhada lá antes da gente continuar.

Se X é tal que { X } é uma base para o espaço da coluna de A e A é uma matriz, m × n , de posto igual a 1 , então todas as colunas de A devem ser proporcionais a [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x n ] t (só podemos ter um vetor independente por causa do posto da matriz). Vamos supor que a primeira coluna de A é y 1 [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x m ] t , que a segunda é y 2 [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x m ] t e assim por diante até y n [   x 1 , x 2 , ⋯ ,   x m ] t . Logo, a matriz A pode ser escrita como

⎜   x 1 y 1                 x 1 y 2             ⋯               x 1 y n ⎜

⎜ x 2 y 1                 x 2 y 2             ⋯               x 2 y n   ⎜

⎜ ⋯                     ⋯               ⋯                 ⋯       ⎜

⎜ x m y 1                 x m y 2             ⋯             x m y n ⎜

Mas, pera aí! Essa é justamente a multiplicação [ x 1 ,   . . .   ,   x m ] t [ y 1 ,   . . .   ,   y n ] . Então, podemos realmente escrever A = X Y t para X = [ x 1 ,   . . .   ,   x m ] t e Y = [ y 1 ,   . . .   ,   y n ] t se A tem posto 1 .

E aí, gostou desta resolução? Responde Aí!

Resposta

Veja a resolução acima.

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