Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 2.1 - Ex. 42
42. Prove que se for uma matriz triangular superior e se for a matriz que resulta quando suprimos a -ésima linha e a -ésima coluna de A, então é triangular superior se .
Passo 1
Para resolver essa questão, vamos pegar uma matriz triangular superior genérica de ordem .
A matriz é a matriz que resulta quando excluímos uma linha e coluna da matriz original.
Agora vamos encontrar as matrizes , com .
Passo 2
Agora vamos encontrar as matrizes , com .
Logo pela definição de matriz triangular superior, todas essas matrizes , com , são matrizes triangular superior, pois:
- Uma matriz quadrada é triangular superior se, e só se, todas as entradas à esquerda da diagonal principal são nulas, ou seja, com .
Passo 3
A partir das informações que obtivemos, podemos provar que se for uma matriz triangular superior e se for a matriz que resulta quando excluímos uma linha e coluna da matriz , então é triangular superior se .
Isso vale pra qualquer matriz triangular superior de ordem , pois como sempre estamos retirando uma linha e coluna com a condição de que . Logo estamos reduzindo a matriz a uma ordem menor e conservando os elementos nulos abaixo da diagonal principal.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)