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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.2 - Ex. 11

Considere as matrizes

A = - 1 0 0 0   e   x 0 = a b

Onde x 0 é um vetor unitário e a ≠ 0 . Mostre que, embora a matriz A seja simétrica e tenha um autovalor dominante, a sequência de potência (1) no Teorema 9.2.1 não converge. Isso mostra que é essencial a exigência, naquele teorema, de que o autovalor dominante seja positivo.

Passo 1

O teorema nos diz que

Passo 2

Para começar descobriremos o autovalor exato da matriz

- 1 - λ 0 0 - λ = - λ - 1 - λ

λ 1 = 0

λ 2 = - 1

E o autovalor dominante é - 1 , pois pegamos seu módulo, e é isso que o Teorema comprove, que não dá para chegar em - 1

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das potências, lembrando que o m a x é o maior valor da matriz resultante das multiplicações

A x 0 = - 1 0 0 0 a b = - a 0                                                                       x 1 = A x 0 A x 0 = 1 - a 2 = 1 a 2 . - a 0 ≈ - a 0

A x 1 ≈ - 1 0 0 0 - a 0 = a 0                                                                                                                               x 2 = A x 0 A x 0 = 1 a 2 . a 0 ≈ 1 0

A x 2 ≈ - 1 0 0 0 1 0 = - 1 0                                                                                                         x 3 = A x 0 A x 0 = 1 - 1 2 . - 1 0 ≈ - 1 0

A x 3 ≈ - 1 0 0 0 - 1 0 = 1 0

Passo 4

Efetuando as continhas

λ 1 = A x 1 . x 1 x 1 . x 1 = A x 1 T . x 1 x 1 T . x 1 = - a 2 a 2 = - 1

λ 2 = A x 2 . x 2 x 2 . x 2   = A x 2 T . x 2 x 2 T . x 2 = - 1 1 = - 1

λ 3 = A x 3 . x 3 x 3 . x 3   = A x 3 T . x 3 x 3 T . x 3 = - 1 1 = - 1  

E ele não converge porque todos os valores dão um resultado exato, e o autovalor dominante é 1. Portanto, comprovando o Teorema 9.2.1.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove: se A for uma matriz n × n qualquer, então A pode ser fatorada como P L U , em que L é triangular inferior, U é triangular superior e P pode ser obtida por trocas de linhas apropriadas de I n .
Em cada caso, use o método das potências com mudança de escala euclidiana para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associado da matriz dada. Escolha seu vetor inicial e pare quando o erro p
Repita o Exercício 12, mas dessa vez pare quando todas as entradas correspondentes em duas aproximações sucessivas de autovalores diferirem por menos de 0,01 em valor absoluto.
Repita o Exercício 12 usando mudança de escala de entrada máxima.
Nos Exercícios 9-10, são dados uma matrizA com um autovalor dominante e uma sequência x 0 ,A x 0 , .. ,A 5 x 0 . Use as Fórmulas (9) e (10) para aproximar o autovalor dominante e um autovetor associad