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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 12b

Determinar a distância da reta

r : {[[x = 3],[y = 4]])

b) ao plano y O z

Passo 1

Vamos começar encontrando uma equação vetorial pra nossa reta. Temos que x = 3 e y = 4 , então:

(x , y , z) = ( 3 , 4 , z )

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Beleza, essa reta passa pelo ponto ( 3 , 4 , 0 ) e tem vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) .

Passo 2

O plano y O z é o plano x = 0 . Então podemos dizer que dois vetores diretores para esse plano são ( 0 , 1 , 0 ) e ( 0 , 0 , 1 ) , por exemplo, pois são vetores em que y = 0 .

Opa, repara só: nossa reta r e o plano y O z têm o mesmo vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) , então são paralelos, olha:

Nesse caso, vamos encontrar um ponto da reta r e aí calcular a distância dele até o plano beleza?

Passo 3

Para encontrarmos um ponto da reta r , vamos arbitrar valores para x e y , e aí encontramos qual é o z correspondente ok?

No nosso caso, a reta r é

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Opa, repara uma coisa, um ponto genérico da reta r é (3 + 0 t , 4 + 0 t , 0 + t) = ( 3 , 4 , t ) . Então independente do valor de t , essa reta sempre vai ter x = 3 e y = 4 . Então no caso vamos só arbitrar um valor de t para encontrarmos o nosso z ok? Se z = 1 temos o ponto

P = ( 3 , 4 , 1 )

Agora é só encontrar a distância entre esse ponto e o plano x O z ;)

Passo 4

A distância entre um ponto P ' = ( x , y , z ) e um plano pi^' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (P^' , pi^') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos P = (3 , 4 , 1) e o plano pi : x = 0 .

Então temos o seguinte

d (P , pi) = (|1 . 3 + 0 . 4 + 0.1 + 0|)/(sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2))

d (P , pi) = (3)/(1) = 3

Resposta

d (r , pi) = 3

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