Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 52d
52. Calcule a distância entre a reta e o plano .
(d) é o eixo das abscissas
Passo 1
Fala aii... belezinha??
Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo um vetor diretor da reta e um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:
- , então é transversal a . Daí temos:
- , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:
- pertence a , então . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.
- é paralela a , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto qualquer da reta e calcular a distância desse ponto até o plano com a fórmula:
Então bora lá fazer essa marmota...
Passo 2
Como ele diz que a reta é o eixo das abscissas, então já temos que e são constantes e iguais a zero.
Se a gente for representar na forma paramétrica:
Daí conseguimos pegar um vetor diretor da reta, que é pegando o que está multiplicando o parâmetro:
E para um vetor normal ao plano só precisamos pegar o que está multiplicando as variáveis:
Passo 3
Fazendo o produto interno:
Então já não tem a possibilidade da reta ser transversal ao plano, né?
Vamos verificar se a reta pertence ao plano pegando um ponto qualquer da reta e ver se pertence ao plano. Pegando
Substituindo na equação do plano:
Aff... não pertence ao plano.
Passo 4
Só resta a última possibilidade, né? Vamos aproveitar o ponto do passo 3:
E calcular a distância dele até o plano com a fórmula:
Tirando o módulo:
Acabamoooos.. Next??