Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 52e
52. Calcule a distância entre a reta e o plano .
(e) : é paralelo a e contém
Passo 1
Fala aii... belezinha??
Nessa questão vamos precisar lembrar que, sendo um vetor diretor da reta e um vetor normal ao plano, então temos duas possibilidades:
- , então é transversal a . Daí temos:
- , que aí temos duas possibilidades dentro dessa possibilidade:
- pertence a , então . Pra verificar isso escolhemos um ponto qualquer da reta e verificamos se ele pertence ao plano.
- é paralela a , aí essa vai ser a mais complicadinha. Vamos precisar escolher um ponto qualquer da reta e calcular a distância desse ponto até o plano com a fórmula:
Então bora lá fazer essa marmota...
Passo 2
Como a reta já está na forma vetorial, já podemos pegar um vetor diretor (pegando o que está multiplicando o parâmetro:
E dessa vez não temos a equação do plano. Maaaas ele já disse que o plano contém a reta .
Vamos passar essa reta pra forma paramétrica:
Temos que:
E
Se considerarmos como nosso parâmetro:
Então, ficamos com:
E com:
Daí podemos pegar o vetor diretor da reta :
Vamos representar o plano de uma forma genérica:
Com o vetor normal:
Passo 3
Como o plano contém a reta , então o produto interno entre o vetor diretor de e o vetor normal ao plano tem que dar igual a zero, né?
Outra informação que temos é que a reta é paralela ao plano, então o produto interno com ela também vai ser zero:
Temos um empassezinho. Temos que achar 4 incógnitas e , mas só temos duas equações.
Agora temos que dar meio que um pulo do gato.
Pensa aqui comigo: se a o plano contém a reta então toooodos os pontos de estão contido no plano, certo?
Então vamos pegar diferentes valores de e achar pontos diferentes da reta e substituir na equação do plano.
Com :
Substituindo em :
Com :
Substituindo em :
Passo 4
Organizando as quatro equações num sisteminha:
Repara que podemos somar a primeira com a segunda equação, daí:
Substituindo na quarta equação:
Da segunda equação também temos:
Estranho, né?? Cadê os númeroooos? Hahaha
Calma...
Vamos substituir na equação do plano:
Passo 5
Falta pouco pra acabar...
Vamos pegar um ponto qualquer de pra jogarmos na fórmula da distância.
Com :
E usando a fórmula pra calcular resposta do ponto até o plano de equação estranha :
Ufaaa... Acabamos. Essa deu um tabalhão, mas bora que bora.