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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas Propostos - Ex. 12d

Determinar a distância da reta

r : {[[x = 3],[y = 4]])

d) ao plano pi : x + y - 12 = 0

Passo 1

Vamos começar encontrando uma equação vetorial pra nossa reta. Temos que x = 3 e y = 4 , então:

(x , y , z) = ( 3 , 4 , z )

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Beleza, essa reta passa pelo ponto ( 3 , 4 , 0 ) e tem vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) .

Passo 2

Vamos checar se o plano pi : x + y - 12 = 0 é paralelo ou transversal à nossa reta ok?

Temos de sua equação, que um vetor normal desse plano é ( 1 , 1 , 0 ) . Como o vetor normal é ortogonal ao plano, para o plano e a reta serem paralelos esse vetor normal também deve ser ortogonal à reta. Sabendo que a reta tem vetor diretor ( 0 , 0 , 1 ) , precisamos checar se o vetor ( 1 , 1 , 0 ) é ortogonal a ( 0 , 0 , 1 ) , ou seja, se o produto escalar entre eles é igual a 0:

(1 , 1 , 0) . (0 , 0 , 1)

1.0 + 1.0 + 0.1

0

Opa, deu 0 , então o vetor normal é ortogonal ao vetor diretor da reta :) Consequentemente, a reta r é paralela ao plano pi .

Nesse caso, vamos encontrar um ponto da reta r e aí calcular a distância dele até o plano beleza?

Passo 3

Para encontrarmos um ponto da reta r , vamos arbitrar valores para x e y , e aí encontramos qual é o z correspondente ok?

No nosso caso, a reta r é

r : X = (3 , 4 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Opa, repara uma coisa, um ponto genérico da reta r é (3 + 0 t , 4 + 0 t , 0 + t) = ( 3 , 4 , t ) . Então independente do valor de t , essa reta sempre vai ter x = 3 e y = 4 . Então no caso vamos só arbitrar um valor de t para encontrarmos o nosso z ok? Se z = 1 temos o ponto

P = ( 3 , 4 , 1 )

Agora é só encontrar a distância entre esse ponto e o plano pi ;)

Passo 4

A distância entre um ponto P ' = ( x , y , z ) e um plano pi^' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (P^' , pi^') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos P = (3 , 4 , 1) e o plano pi : x + y - 12 = 0 .

Então temos o seguinte

d (P , pi) = (|1.3 + 1.4 + 0.1 - 12|)/(sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2))

d (P , pi) = (5)/(sqrt(2)) = (5 sqrt(2))/(2)

Resposta

d (r , pi) = (5 sqrt(2))/(2)

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